Category: եկրաչափություն

1)K կետը AB հատվածի կետ է,C կետը՝ KB հատվածի: AK:KC:CB = 2:3:5 Գտե՛ք AK, KC և CB հատվածներից մեծի երկարությունը, եթե AB = 40:

2+3+5=10
40:10=4

2·4=8
3·4=12
5·4=20

Պատ․՝20

2)Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը հարաբերում են ինչպես 2 : 5-ի, իսկ մակերեսը 125 է: Գտեք եռանկյան մեծ էջի երկարությունը։

(2x·5x)/2=125
5x²=125
x²=25
x=5

5x=25

3)ABCD ուղղանկյուն սեղանում (<C = <D = 90^o) BC = 5, CD = 10, <ABD = 90^o: Գտե՛ք սեղանի մակերեսը։

(5+5)·10)/2=50

4)Տրված են A(0; 3) և B(3; −1) կետերը։
Գտե՛ք A և B կետերով անցնող ուղղի հավասարումը։
Գտե՛ք A և B կետերի հեռավորությունը։

y=-(4/3)x+3

V(3-0)²+(-1-3)²=V25=5

5)Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 20 է, բարձրությունը՝ 16:
Գտե՛ք եռանկյան մակերեսը։
Գտե՛ք եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը։
Գտե՛ք եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղը։

V(20²-16²)=V144=12

12·2=24

(24·16)/2=192

(20+20+24)/2=32

192:32=6

(20·20·24)/(4·192)=25/2

6)Շեղանկյան մակերեսը 336 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 48:
Գտե՛ք անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունը կողմերից մեկի միջնակետից:
Գտե՛ք շեղանկյան բարձրությունը:

(48·d)/2=336
24d=336
d=14

14:2=7

V(24²+7²)=V625=25

336:25=336/25

1)Երկու զուգահեռ ուղիղները երրորդով հատելիս առաջացած միակողմանի անկյուններից մեկը 26°-ով մեծ է մյուսից։ Գտնել այդ անկյուններից փոքրի աստիճանային չափը:

77⁰

2)Շրջանագծի երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը կիսվում է: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:

12մ

3)Գտնել խորանարդի ծավալը, եթե նրա կողմնային մակերևույթի մակերեսը 100 է։

125

4)Գտնել x-ը, եթե A (2; 3), B(x; 1) կետերի հեռավորությունը 2 է:

x=2

5)Գտնել 3a-ն, եթե a {5;-2}:

15,-6

6)Գտնել AB հատվածի միջակետի կոորդինատները, եթե A (2;3), B(4; 1):

(3; 2)

7)Շեղանկյան մակերեսը 96 սմ² է, իսկ անկյունագծերից մեկի երկարությունը՝ 12 սմ: Գտնել շեղանկյան կողմի երկարությունը։
Գտնել շեղանկյան բարձրության երկարությունը։

կողմ = 10 սմ
բարձրություն = 9.6 սմ

1)CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է։ BD = 4, AD = 7, AC = 21
ա)Գտե՛ք BC կողմի երկարությունը։
բ)Գտեք ABC եռանկյան պարագիծը:
գ)Գտեք ABC եռանկյան մակերեսը։

ա) 12
բ) 44
գ) 2√605

2)OC ճառագայթը AOB անկյունը բաժանում է 2 անկյան, որոնցից մեկը 3 անգամ փոքր է մյուսից: Գտե՛ք այդ անկյուններից մեծագույնը, եթե <AOB = 60^o:

45°

3)Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 16 է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 4 է։ Գտե՛ք երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 64 է:

16

4)Տրված են ā {1;1} և b{-2; 8} վեկտորները: Գտե՛ք 5a — 2b վեկտորի կոորդինատները։

(9; −11)

5)Գտե՛ք x-ը, եթե a{x; 3} և b{2; -3} վեկտորների սկալյար արտադրյալը 9 է:

9

6)Շեղանկյան մակերեսը 120 է, իսկ անկյունագծերից մեկը՝ 24:
Գտե՛ք շեղանկյան պարագիծը։
Գտե՛ք շեղանկյան բարձրությունը։

P = 52
h = 120/13

7)Շրջանագծի A կետի հեռավորությունը տրամագծի ծայրակետերից 3 և 4 է: Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը

2.5

1)Երկու զուգահեռ ուղիղներ հատողով հատելիս խաչադիր անկյունների գումարը 160° է։ Գտնել այդ անկյունների կից անկյունների աստիճանային չափը:

180-100=80

160/2=80

180-100=80

2)Հավասարասրուն սեղանի մեծ հիմքը 8 մ է, սրունքը՝ 4 մ, իսկ դրանց կազմած անկյունը՝ 60°։ Գտնել սեղանի փոքր հիմքի երկարությունը։

2+2=4

8-4=4

x=4

3)AB կիսաշրջանագծի վրա վերցված են CD կետերն այնպես, որ UAC = 57^o, UBD = 63^o։ Շրջանագծի շառավիղը 12 սմ է:
ա)Գտնել CD լարի երկարությունը։
բ)Գտնել COD եռանկյան մակերեսը, որտեղ O-ն շրջանագծի կենտրոնն է։

ա) 12 սմ
բ) 36√3 սմ²

4)Ուռուցիկ քառանկյան անկյունագծերը 10 սմ և 14 սմ։ Գտնել այն քառանկյան պարագիծը, որի գագաթները տրված քառանկյան կողմերի միջնակետերն են։

24 սմ

5)Շրջանագծին ներգծված է BC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյուն: Գտնել եռանկյան անկյունները, եթե UBC = 112^o:

56°, 62°, 62°

6)Խորանարդի մակերևույթի մակերեսը 96 սմ² է։ Գտնել խորանարդի կողի երկարությունը։

4 սմ

7)Տրված են a = 2i — j և b = 6i — 3j վեկտորները:
ա)Գտնել k -ն, եթե b = k * a:
բ)Գտնել a − 2b վեկտորի կոորդինատները

ա) 3
բ) (-10, 5)

1)Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 6 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 8 և 12 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:

ա) 4
բ) 72
գ) 44

2)Հավասարասրուն սեղանի բութ անկյան գագաթից նրա մեծ հիմքին տարված ուղղահայացը 24 է: Այն մեծ հիմքը տրոհում է 10 և 30 երկարության հատվածների:
ա) Գտնել սեղանի փոքր հիմքը:
բ) Գտնել սեղանի մակերեսը:
գ) Գտնել սեղանի պարագիծը:

ա) 20
բ) 720
գ) 112

3)Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 3 և 11 են, մակերեսը՝ 21:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

ա) 20
բ) 720
գ) 112

4)Հավասարասրուն սեղանի հիմքերը 4 և 16 են, մակերեսը` 80:
ա) Գտնել սեղանի սրունքը:
բ) Գտնել սեղանի պարագիծը:
գ) Գտնել սեղանի անկյունագծի քառակուսին:

ա) 10
բ) 40
գ) 164

5)ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 25, CD = 10, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

ա) 27
բ) 27
գ) 260

6)ABCD-ն ուղղանկյուն սեղան է, <D = <C = 90^օ, BC = 9, CD = 3, <ABD = 90^օ:
ա) Գտնել AD հիմքի երկարությունը:
բ) Գտնել ABD եռանկյան արտագծած շրջանագծի տրամագծի երկարությունը:
գ) Գտնել ABCD ուղղանկյուն սեղանի մակերեսը:

ա) 10
բ) 10
գ) 28.5

1)Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 100 է, իսկ հիմքը և սրունքը հարաբերում են, ինչպես 24:13 :

ա) Գտնել եռանկյան մակերեսը:

S=13×24|2 S=48×10|2
բ) Գտնել եռանկյան փոքր կողմը:

26
գ) Գտնել եռանկյան մեծ բարձրությունը:

10

2)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 8-ով փոքր է սրունքների գումարից, իսկ պարագիծը 72 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքի երկարությունը:
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

3)Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը՝ 36 է, իսկ սրունքը հավասար է այն քառակուսու կողմին, որի պարագիծը 40 է:
ա) Գտնել եռանկյան սրունքը:
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
գ) Գտնել եռանկյանը ներգծած շրջանագծի շառավիղը:

4)Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին տարված բարձրությունը 6 է,
իսկ սրունքը՝ 12:
ա) Գտնել եռանկյան հիմքին առընթեր անկյան աստիճանային
չափը:
բ) Գտնել եռանկյան մակերեսը:
գ) Գտնել եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

Ընտրենք y = f(x) ֆունկցիայի այն մասը, որը գտնվում է x-երի առանցքից ներքև և փոխարինենք x-երի առանցքի նկատմամբ իր համաչափով: Կստացվի y = |f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Այս պարզ կանոնի կիրառմամբ կարող ենք հեշտությամբ կառուցել y = |x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Գրաֆիկն ունի գագաթ՝ (0,0) կետը, ինչպես նաև երկու ճյուղ՝ կոորդինատային հարթության առաջին և երկրորդ քառորդների կիսորդները: Այդ գրաֆիկն անվանում ենք մոդուլի գրաֆիկ։
Օգտագործելով ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժման կանոնները՝ կարող ենք կառուցել մոդուլի նշան պարունակող տարբեր ֆունկցիաների գրաֆիկներ։
Եթե f(x) = |x|, ուրեմն՝ f(x — 4) = |x — 4| և f(x) + 1 = |x| + 1: y = f(x — 4) ֆունկցիայի գրաֆիկը y = f(x) -ի գրաֆիկն է՝ 4 միավորով տեղաշարժված աջ, իսկ y= f(x) + 1 -ի գրաֆիկը՝ մեկ միավորով վերև: y = |x — 4| ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգելով՝ կստանանք y = 2|x — 4| ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այն իր հերթին 3 միավորով վերև բարձրացնելով՝ կստանանք y = 2|x — 4| + 3-ի գրաֆիկը։

y = a|x — x₀| + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը (x₀, y₀) գագաթով և y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգած մոդուլի գրաֆիկն է։ a > 0 դեպքում գրաֆիկի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ a < 0 դեպքում՝ ներքև։

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է f(x) = |x — 1| ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը

ա) 2, 1

բ) 0, 1

գ) –2 կետում: 3

2)Տրված է f(x) = 2|x + 3| ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը

ա) – 5, 4

բ) 1, 8

գ) –3 կետում: 0

3)Տրված է f(x) = |x — 4| ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում

ա) 2, 2

բ) 0, 4

գ) -4, 0

դ) 7 արժեքը: 3

4)Տրված է f(x) = |x + 9| ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում

ա) 1, -10=-1 -8=1

բ) 8, -1=8. -17=-1

գ) -1, -10=-1. -8=1

դ) 5 արժեքը: -4=5. -14=-5

5)Նկարում պատկերված է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գծե՛ք y = |f(x)| ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Բազմանկյան մակերեսը ներգծած շրջանագծի շառավղի միջոցով․

Շրջանագծին արտագծած բազմանկյան մակերեսը հավասար է դրա կիսապարագծի և ներգծած շրջանագծի շառավղի արտադրյալին։

Քառանկյան մակերեսը անկյունագծերի միջոցով․

Ուռուցիկ քառանկյան մակերեսը հավասար է դրա անկյունագծերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալի կեսին։

Առաջադրանքներ․

1)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի բարձրությունը 4 սմ է, իսկ մակերեսը՝ 60 սմ²: Գտեք սեղանի սրունքը:

S= (a+b)|2*h

60=(a+b)|2*4

60=2(a+b)

a+b=30

Սրունքը = 13 սմ

2)Շրջանագծին արտագծած հավասարասրուն սեղանի սրունքը 12 դմ է, իսկ ներգծած շրջանագծի շառավիղը՝ 5 դմ: Գտեք սեղանի մակերեսը։

S=p⋅r

r=5

S = 120 դմ²

3)Շրջանագծին արտագծած ուղղանկյուն սեղանի կողմնային կողմերը 12 սմ և 16 սմ են: Գտե՛ք սեղանի մակերեսը:

p=12+16=28

S=p⋅r

S = 168 սմ²

4)Ուռուցիկ քառանկյան 12 դմ և 18 դմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 45° է: Գտե՛ք քառանկյան մակերեսը:

S=1|2 ​d₁​d_2​sinα

S=1|2​⋅12⋅18⋅sin45^∘

S=5V42​

54V2 դմ²

5)Զուգահեռագծի 7 սմ և 16 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը 30° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

S=21​⋅7⋅16⋅sin30^∘

S=28

28 սմ²

6)Գտեք սեղանի 6 սմ և 10 սմ երկարությամբ անկյունագծերի կազմած անկյունը, եթե դրա մակերեսը 15√3 սմ է:

15V3​=1|2​⋅6⋅10⋅sinα

15V3​=30sinα

sinα=3V​|2​

7)Ուղղանկյան մակերեսը 36 դմ է, անկյունագիծը՝ 12 դմ: Գտեք անկյունագծերի կազմած անկյունը:

sinα=2S|d^2​

sinα=72|144​

0.5

8)Ուղղանկյան կողմերը 6 սմ և 8 սմ են: Գտե՛ք անկյունագծերի կազմած անկյան սինուսը:

d=V6²+8²​=10

sinα=2ab|d^2​

=2⋅6⋅8|100​

0.96

Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է կից կողմերի և դրանցով կազմված անկյան սինուսի արտադրյալին՝ S = ab sina:

Առաջադրանքներ․

1)Զուգահեռագծի կից կողմերը 10 սմ և 14 սմ են, անկյուններից մեկը` 60°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

S=10*14*sinA 60=10x14xV3|2=70V3

2)Զուգահեռագծի կից կողմերը 6 սմ և 12 սմ են, անկյուններից մեկը՝ 150°։ Գտե՛ք զուգահեռագծի մակերեսը:

S=6*12*sinA 150=6*12=72 S=72*sin150° sin150°=sin(180°−30°)=sin30°=1|2​ 72*1|2=36

3)135√2 դմ² մակերեսով զուգահեռագծի կից կողմերը 15 դմ և 18 դմ են: Գտե՛ք զուգահեռագծի անկյունները:

S=sina=135 V2|15*8=V2|2 a=45^o ,135^o

4)Զուգահեռագծի կողմերից մեկը 2 սմ-ով մեծ է մյուսից, իսկ դրանց կազմած անկյունը 60° է: Գտե՛ք զուգահեռագծի կողմերը, եթե դրա մակերեսը 24√3 սմ2 է:

x(x+2)V3|2=24V3 x(x+2)=48 x=6,x+2=8

5)Գտեք շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմը հավասար է 12 սմ, իսկ անկյունը`60o:

S=122⋅sin60°=72V3​

6)Գտեք շեղանկյան կողմը, եթե նրա մակերեսը հավասար է 8√2 սմ2, իսկ անկյունը` 45o։

a2*V2|2​​=8V2​ a=4

7)322√2 սմ2 մակերեսով շեղանկյան անկյուններից մեկը 45° է: Գտե՛ք շեղանկյան կողմը:

a2*V2|2​​=322V2 a2=644 a≈25.38

Հարցեր և խնդիրներ

198.ABC եռանկյունում AC = sqrt(2) սմ, BC = 1 սմ, ∠ABC = 45°: Գտե՛ք BAC անկյունը:

sin∠BAC=1|2​ ∠BAC=30∘

199.Եռանկյան կողմը 12 սմ է, իսկ դրա դիմացի անկյունը` 45°։ Գտեք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

R = a|2sinA ​= 2⋅sin45°12 =6√2​ սմ

200.Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը 5 դմ է, անկյուններից մեկը՝ 60°: Գտե՛ք այդ անկյան դիմացի կողմը:

a=A|2Rsin= 2⋅5⋅sin60°=5√3​ դմ

201.Եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է կող– մերից մեկին: Գտե՛ք այդ կողմի դիմացի անկյունը:

R=a|2sinA sin A=21​ A=30°

202.Ապացուցեք, որ 120° անկյունով հավասարասրուն եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը հավասար է սրունքին:

R=a|2sin120°​=a|2⋅2√3​​​=a|√3​​≈a

203.Օգտվելով սինուսների թեորեմից՝ լուծեք 164 խնդիրը:

164.Գտեք AC = 10 սմ հիմքով և BC = 13 սմ սրունքով ABC եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

cosB=13²+13²-10^2​|2⋅13⋅13=119|169​ sinB=120|169​

204.Ապացուցեք, որ նման եռանկյուններին արտագծած շրջանագծերի շառավիղների հարաբերությունը հավասար է նմանության գործակցին:

Նման եռանկյունների կողմերի հարաբերությունը՝ $k$.

Շառավիղը r=pS​, որտեղ S՝ տարածք, p՝ պերիմետր:

Նման եռանկյունների տարածքների հարաբերությունը S1​/S2​=k2, պերիմետրերի հարաբերությունը p1​/p2​=k:

r1​/r2​=S1​/p1|S2​/p2​​​=k2|k​= k

r1​:r2​=k

205.Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 12√3 սմ է, հիմքին առընթեր անկյունը 60° է: Գտե՛ք այդ եռանկյանն արտագծած շրջանագծի շառավիղը:

Հիմքից բարձրությունը h=BC|2​⋅tan60°=6√3​⋅3​=1√8

Տարածք S=1|2​ ⋅ BC ⋅ h=21​⋅12√3​⋅18=108√3​

Պերիմետր p=(AB+AC+BC)/2. Հավասարաչափ մոտեցմամբ AB=AC=12 p=(12+12+123​)/2 ≈ 22.39

Շառավիղ r=S/p=6 սմ

r=6 սմ

206.R շառավղով շրջանագծի A կետից տարված են AB և AC լարերը: Գտե՛ք ABC եռանկյան անկյունները, եթե AC = √2 x R AB = R :

AB=R sinC=1/2 C=30°

AC=√2​R sinB=√2​/2 B=45°

A=180°−B−C=180°−45°−30°=105°

∠A=105°,∠B=45°,∠C=30°