Թեմա՝ ՔԱՌԱԿՈՒՍԱՅԻՆ ԵՌԱՆԴԱՄԻ ՆՇԱՆԸ
Եթե քառակուսային եռանդամի տարբերիչը բացասական չէ (D ≥ 0), ապա եռանդամը վերլուծվում է գծային արտադրիչների. ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2):
Այս ձևափոխությամբ կարող ենք գտնել եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։ Դիտարկենք մեկական օրինակ, երբ D > 0 և D = 0:
Օրինակ 1
Պարզենք ա) 2x2 − 8x + 6, բ) −2x2 − 6x − 4.5 արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում։ ա) 2x2 − 8x + 6 եռանդամը վերլուծենք արտադրիչների։Դրա համար լուծենք 2x2 −8x + 6=0
հավասարումը.
D = (−8)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16,
x1=(8 +√16 )/2 ⋅ 2 = 3, x2=(8 −√16 )/2 ⋅ 2 = 1:
Այսպիսով՝ 2x2 − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3):Ստացված արտահայտությունը դրական է (−∞, 1) ու (3, +∞)
միջակայքերում և բացասական՝ (1, 3)-ում։
բ) −2x2 − 6x − 4.5 D = (−6)2 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−4.5) = 0,
x1= x2= − 6/2 ⋅ (−2) = −1.5:
Ուրեմն՝ −2x2 − 6x − 4.5 = −2(x + 1.5)2:
Այս արտահայտությունն ունի երկու նշանապահպանման միջակայք՝ (−∞, −1.5) և (−1.5, +∞)-ը։ Այդ միջակայքերում արտահայտությունը բացասական է։
Իսկ ինչպե՞ս որոշենք քառակուսային եռանդամի նշանը, երբ տարբերիչը բացասական է։ Այդ դեպքում եռանդամը չի վերլուծվում արտադրիչների։ Պարզվում է, որ այդ դեպքում քառակուսային եռանդամը բոլոր կետերում ունի իր ավագ անդամի՝ a-ի նշանը։
Օրինակ 2 Պարզենք ա) − x2 + 3x − 7, բ) 3 x2 − x + 1 քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում: ա) Գտնենք − x2 + 3x − 7 եռանդամի արմատները.
− x2 + 3x − 7 = 0,
D = 32 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−7) = −19 < 0:
Քանի որ D < 0, ուրեմն հավասարումն արմատ չունի։ x-ի բոլոր արժեքների դեպքում եռանդամն ունի իր ավագ անդամի նշանը։ Քանի որ a = −1, ուրեմն (−∞, +∞) միջակայքում եռանդամը բացասական է։
բ) 3x2 − x + 1 = 0,
D = (−1)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = −11 < 0:
Այսպիսով, եռանդամի տարբերիչը բացասական է։ Քանի որ ավագ անդամի գործակիցը դրական է, ուրեմն եռանդամը դրական է x-ի բոլոր արժեքների դեպքում՝ (−∞, +∞) միջակայքում։
Առաջադրանքներ։
1․ Որոշել քառակուսային եռանդամի նշանը տրված կետում․
ա) x2 + 4x − 8, x = 2, բ) 3 x2 − 10x + 2, x = −1, գ) −2 x2 + 7x + 11, x = 1.5, դ) 2 x2 + 5x − 20, x = 4:
ա) x2+4x−8, x=2
f(2)=4+8−8=4>0 դրական
բ) 3x2−10x+2, x=−1
f(−1)=3⋅1+10+2=15>0 դրական
գ) −2x2+7x+11, x=1.5
f(1.5)=−2⋅2.25+7⋅1.5+11=−4.5+10.5+11=17 դրական
դ) 2x2+5x−20, x=4
f(4)=2×16+20−20=32 դրական
2․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի դիսկրիմինանտը (տարբերիչ)։ Եռանդամի նշանը կախվա՞ծ
է արդյոք x-ի արժեքից: Եթե կախված չէ, ապա նշել նշանը։
ա) 2x2 + 7x − 1, բ) −x2 + 3x − 9, գ) − x2 − 6x − 9։
ա) 2x2+7x−1
D=72−4⋅2⋅(−1)=49+8=57>0 D>0, եղած արմատներ, նշանը կախված է x-ից (չի պահպանվում ամբողջ R-ում)։
բ) −x2+3x−9
D=32−4⋅(−1)⋅(−9)=9−36=−27<0, ունի ոչինչ արմատներ, նշանը նույնն է բոլոր x-երի համար։ a=−1 բոլոր x-երում բացասական։
գ) −x2−6x−9
D=(−6)2−4⋅(−1)⋅(−9)=36−36=0 D=0, կրկնակի արմատ՝ x=−3x. Քառակուսագետը = −(x+3)2 Նշանը՝ ոչ դրական՝ բոլոր x-երի համար (բացասական բոլոր տեղերում, և =0՝ -3x ում)։
3․ Գտնել քառակուսային եռանդամի նշանապահպանման միջակայքերը․
ա) 2x2 − 6x + 4, բ) 3x2 + 2x + 1, գ) − x2 + 3x − 2։
ա) 2×2−6x+4
D=(−6)2−4⋅2⋅4=36−32=4>0 արմատներ՝ x=1և x=2. a=2>0 դրական՝ (−∞,1) և (2,+∞) բացասական՝ (1,2).
բ) 3x2+2x+1
D=22−4⋅3⋅1=4−12=−8<0 a=3>0 դրական բոլոր x-երում (−∞,+∞)
գ) −x2+3x−2
D=32−4⋅(−1)⋅(−2)=9−8=1>0 արմատներ՝ x=1 և x=2. a=−1<0a=-1<0a=−1<0 ⇒ դրական՝ (1,2)բացասական՝ (−∞,1)և (2,+∞)
4․ Գտնել արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը և պարզե՛ք նշանը տրված կետում․ ա) − x2 − 5x − 6, x = −1, բ) 3 x2 − 7x + 4, x = 5, գ) 2x2 − 9x + 10, x = 3։
ա) −x2−5x−6-x x=−1
Ֆակտորացվում է՝ −(x+2)(x+3)-. արմատներ −3,−2-3, a=−1 դրական՝ (−3,−2) բացասական՝ (−∞,−3) և (−2,∞).
x=−1∈(−2,∞) բացասական (քանի որ f(−1)=−2).
բ) 3x2−7x+4x=5
D=49−48=1. արմատներ x=1 և x=4|3. a=3>0 դրական՝ (−∞,1) և (4|3,+∞) (3|4,+∞), բացասական՝ (1,4|3)
x=5 դրական.
գ) 2x2−9x+10 x=3
D=81−80. արմատներ x=2և x=2.5 a=2>0 դրական՝ (−∞,2) և (2.5,+∞) բացասական՝ (2,2.5)
x=3∈(2.5,+∞) դրական (և մշակելով՝ f(3)=1).
5․ m-ի փոխարեն գրել թիվ, որ ստացված քառակուսային եռանդամն ունենա մեկ նշանապահպանման միջակայք․
ա) x2 + 5x + m, բ) −2 x2 + 15x − m, գ) 3 x2 − 7x + m,
դ) mx2 − 14x + 30, ե) mx2 + 12x + 34, զ) mx2 − 4x + 8:
ԼՈՒԾՈՒՄ։ դ) Եթե քառակուսային եռանդամն ունի մեկ նշանապահպանման միջակայք, ուրեմն այդ միջակայքն է (−∞, +∞): Դա հնարավոր է, երբ եռանդամն արմատ չունի, այսինքն՝ D < 0: Ուրեմն՝ D = (−14)2 − 4 ⋅ 30 ⋅ m < 0: Լուծելով անհավասարումը՝ ստանում ենք m >49/30 : Օրինակ՝ m = 12 բավարարում է այս պայմանին։
5ա) x2+5x+m
Դիսկրիմինանտը՝ D=52−4⋅1⋅m=25−4m
Պայման՝ D<0⇒25−4m<0⇒m>25|4=6.25{4}
Մեծագույն պարզ: m>6.25 (օրինակ՝ m=7).
Ալեքս Մելիքյանի բլոգ 