Category: Հանրահաշիվ

1)Գտնել 45-ի բոլոր բաժանարարների գումարը:

78
2)Գտնել 48-ի բոլոր բաժանարարների գումարը:

124
3)Գտնել 12 և 20 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը:

4
4)Գտնել 15 և 25 թվերի ընդհանուր բաժանարարների քանակը:

3
5)Գտնել [23;123] միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը:

101
6)Գտնել [-25;56] միջակայքին պատկանող բոլոր ամբողջ թվերի քանակը:

82
7)Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 7 է, քանորդը` 5, իսկ մնացորդը՝ 3:

38
8)Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 9 է, քանորդը` 8, իսկ մնացորդը՝ 6:

78
9)Քանի՞ պարզ թիվ կա [29;50) միջակայքում:

6
10)Քանի՞ պարզ թիվ կա (56;71] միջակայքում:

4
11)Գտնել 5 թվի և նրա հակադիր թվի գումարը:

0
12)Գտնել 6 թվի և նրա հակադիր թվի գումարը:

0
13)28-ը 20–ից քանի՞ տոկոսով է մեծ:

40%
14)16-ը 12-ից քանի՞ տոկոսով է մեծ:

15)Գտնել 48-ի 20%-ը:

9.6
16)Գտնել 36-ի 25%–ը:

9
17)Գտնել այն թիվը, որի 40%-ը հավասար է 80-ի:

200
18)Գտնել այն թիվը, որի 50%–ը հավասար է 34-ի:

68
19)2-ը 10-ի քանի՞ տոկոսն է:

20%
20)4–ը 20–ի քանի՞ տոկոսն է:

20%

Երկրաչափական պրոգրեսիան անվանում ենք անվերջ նվազող, եթե նրա հայտարարը բացարձակ արժեքով փոքր է մեկից:

q հայտարարով {a_n} անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը
S = a₁/(1 — q) արտահայտության արժեքն է:

Օրինակ 1.
{a_n} անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայում a₁= 6, q = 1/3: Հաշվենք պրոգրեսիայի գումարը:
Լուծում.

Օրինակ 2.

Հաշվենք 2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 +… գումարը:
Լուծում.
Նկատենք, որ յուրաքանչյուր հաջորդ կոտորակը նախորդից փոքր է 3 անգամ։ Ուրեմն՝ q = 1/3: Քանի որ a₁ = 2 ուրեմն՝

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք՝ արդյոք տրված երկրաչափական պրոգրեսիան անվերջ նվազո՞ղ է.

ա)այո բ)այո գ)ոչ դ)ոչ ե)ոչ զ)այո է)ոչ ը)ոչ

2)Պարզե՛ք՝ արդյոք տրված երկրաչափական պրոգրեսիան անվերջ նվազո՞ղ է: Եթե անվերջ նվազող է, ապա հաշվե՛ք պրոգրեսիայի գումարը.

ա)ոչ բ)այո գ)ոչ դ)այո

3)Հաշվե՛ք անվերջ նվազող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարը.

ա)այո բ)այո գ)այո դ)այո ե)այո զ)այո է)այո ը)այո

Եթե x² + px + q = 0 բերված տեսքի քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է, ապա՝

որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը  x² + px + q = 0 հավասարման արմատներն են:

Վիետի թեորեմը տեղի ունի նաև ընդհանուր դեպքում, երբ a≠1

Եթե ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարման տարբերիչը ոչ բացասական է ապա՝ 

որտեղ x₁ -ը և x₂ -ը ax² + bx + c = 0 հավասարման արմատներն են:

Առաջադրանքներ․

1)Պարզեք` հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտեք նրանց գումարը և արտադրյալը).
ա) x² — x + 1 = 0
բ) x² + x + 3 = 0
գ) x² + 3x — 2 = 0
դ) x² — 3x + 2 =

D=b²-4ac =1-4*1*1=-3 ⌀

D=9+4*1*2=8=17

x₁+x₂=-3

x₁*x₂=-2

2)Առանց լուծելու հավասարումը, որոշեք նրա արմատների նշանները․
ա) x² — 7x + 12 = 0
բ) x² + 7x + 12 = 0
գ) x² + 5x — 14 = 0
դ) x² — 5x — 14 = 0

3)x² + 3x — 1 = 0 հավասարումն ունի երկու արմատներ x₁ և x₂ ։ Հաշվե՛ք
ա) x₁ + x₂
բ) x₁ * x₂
գ) (x₁ + x₂)²
դ) x₁² + x₂²

x²+3x−1=0

Բոլոր հավասարումները, անհավասարումները վերցված են թեստերի ժողովածուից։

Լուծե՛ք հավասարումները և անհավասարումները․

1. 3 + 2x > x + 1

3+2x>x+1
2x−x>1−3
x>−2
x∈(−2;+∞)

2. 3(x — 0,5) > 4,5

3(x−0.5)>4.5
3x−1.5>4.5
3x>6
x>2
x∈(2;+∞)

3. 3(x+2)>2(x+9)

4. (4-x)(x+6)(x-9)>0

(4−x)(x+6)(x−9)>0
x∈(−6;4)∪(9;+∞)

5. (x-4)(x+6)(x-9)≥0

(x−4)(x+6)(x−9)≥0
x∈[−6;4]∪[9;+∞)

6. 3x-5=9-4x

3x−5=9−4x
3x+4x=9+5
7x=14
x=2

7. 3x-2(6-x)=3

3x−2(6−x)=3
3x−12+2x=3
5x=15
x=3

8. 4x- (x-3)=9

4x−(x−3)=9
4x−x+3=9
3x=6
x=2

9. 5x+1,5=10,5-2,5x

5x+1.5=10.5−2.5x
5x+2.5x=10.5−1.5
7.5x=9
x=1.2

10. x-2(x-3)=1

x−2(x−3)=1
x−2x+6=1
−x=−5
x=5

11. x²+x-6=0

x²+x−6=0
(x+3)(x−2)=0
x=−3,2

գտիր արմատների գումարը
12. x²-2x-5=0,

x²−2x−5=0
13. x²-5x+3=0,

x²−5x+3=0
__________

14. x⁴-10x²+9=0
x⁴−10x²+9=0
t=x²
t²−10t+9=0
t=1,9
x=±1,±3

15. Ix-2I=2

|x−2|=2
x−2=±2
x=0,4

16. I2x-3I=3

|2x−3|=3
2x−3=±3
x=0,3

17. I3x-7I>2

|3x−7|>2
3x−7>2
3x>9
x>3

3x−7<−2
3x<5
x<5/3

x∈(−∞;5/3)∪(3;+∞)

18. √(3x-2) ≤ 4

√(3x−2)≤4
3x−2≤16
3x≤18
x≤6
x≥2/3
x∈[2/3;6]

19. √(3x-2) < 4

√(3x−2)<4
3x−2<16
x<6
x≥2/3
x∈[2/3;6)

20. √(x-1) ≤ 3

√(x−1)≤3
x−1≤9
x≤10
x≥1
x∈[1;10]

21. √(x-1) ≥ 3

√(x−1)≥3
x−1≥9
x≥10
x∈[10;+∞)

22. √(5x-2) < 4

√(5x−2)<4
5x−2<16
5x<18
x<18/5
x≥2/5
x∈[2/5;18/5)

23. √(4x-3) ≤ 7

√(4x−3)≤7
4x−3≤49
4x≤52
x≤13
x≥3/4
x∈[3/4;13]

24. x²+5x-6 < 0

x²+5x−6<0
(x+6)(x−1)<0
x∈(−6;1)

25. x²-8x+15 ≤ 0

x²−8x+15≤0
(x−3)(x−5)≤0
x∈[3;5]

26. -x²+5x-4 > 0

−x²+5x−4>0
(x−1)(x−4)<0
x∈(1;4)

27. 3x/9 — 6 ≥ 0

3x/9−6≥0
x/3≥6
x≥18

28. (x-2)/(x-4) ≤ 0

(x−2)/(x−4)≤0
x∈[2;4)

29. (x-3)/(x-9) ≤ 0

(x−3)/(x−9)≤0
x∈[3;9)

30. (x-2)/(x-4) ≥ 0

(x−2)/(x−4)≥0
x∈(−∞;2]∪(4;+∞)

1)

1)

2x − 4 > 6
2x > 14
x > 7

2)

2x + 3 ≤ 1
2x ≤ -2
x ≤ -1

3)

7x − 7 > -7
7x > 0
x > 0

4)

10x − 20 > 30
10x > 50
x > 5

5)

25x − 50 ≤ 25
25x ≤ 75
x ≤ 3

6)

4(x − 2) > 2(x + 2)
4x − 8 > 2x + 4
2x > 12
x > 6

7)

10(x − 4) ≥ 8(x + 2)
10x − 40 ≥ 8x + 16
2x ≥ 56
x ≥ 28

8)

2(x − 3) > 4(x + 3)
2x − 6 > 4x + 12
-2x > 18
x < -9

9)

5(x − 2) ≤ 7(x − 3)
5x − 10 ≤ 7x − 21
-2x ≤ -11
x ≥ 11/2

---

2)

1)

x(x − 5) > 0
արմատներ՝ 0, 5
x ∈ (-∞, 0) ∪ (5, +∞)

2)

x(2x − 6) > 0 → x(x − 3) > 0
արմատներ՝ 0, 3
x ∈ (-∞, 0) ∪ (3, +∞)

3)

(2x − 4)(3x + 3) > 0
արմատներ՝ 2, -1
x ∈ (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

4)

(8x + 8)(4x − 4) < 0 → (x + 1)(x − 1) < 0
x ∈ (-1, 1)

5)

x(x + 2)(x − 5) ≤ 0
արմատներ՝ -2, 0, 5
x ∈ [-2, 0] ∪ [5]

6)

(x − 5)(x − 1)(x + 2) > 0
արմատներ՝ -2, 1, 5
x ∈ (-2, 1) ∪ (5, +∞)

7)

(2x − 4)(4x + 4)(5x + 20) > 0
→ (x − 2)(x + 1)(x + 4) > 0
արմատներ՝ -4, -1, 2
x ∈ (-4, -1) ∪ (2, +∞)

---

3)

1)

(x − 4)/(x + 3) > 0
կետեր՝ -3, 4
x ∈ (-∞, -3) ∪ (4, +∞)

2)

(x − 9)/(x + 2) ≥ 0
կետեր՝ -2, 9
x ∈ (-∞, -2) ∪ [9, +∞)

3)

(x − 3)/(x + 8) > 0
կետեր՝ -8, 3
x ∈ (-∞, -8) ∪ (3, +∞)

4)

(x + 3)/(x − 3) ≤ 0
կետեր՝ -3, 3
x ∈ [-3, 3

1)Լուծել հավասարումները․
|x| = 3 X= 3,-3
|x| = 9 X= 9, -9
|x| = 0 X=0
|x| = -5 լուծում չկա
|x| = 18 X=18, -18
|x| — 2 = 5 X= 7, -7
|x| — 5 = — 3 X= -2, 2 
|x| + 6 = 3 լուծում չկա
|x| — 3 = 3 X= -6, 6
|x| + 10 = 5 լուծում չկա
|x + 6| = 0 X=-6
|x — 5| = 2 X= 7, 3
|x + 9| = 7 X=-2, -16
|4x — 8| = — 6 լուծում չկա
|5x — 5| = 0 X=1
|x — 5| + 3 = — 4 լուծում չկա
|x + 8| + 3 = 1 լուծում չկա
|2x — 6| — 5 = 3 X=7, -1

2)Լուծել հավասարումները․

√(x) = 2 X=4
√(x) = 5 X=25
√(x) = 0 X=0
√(x) — 2 = 6 X=8
√(x) — 4 = 1 X=5
√(x) + 4 = 2 X=-2
√(x — 2) = 2 X=4
√(x + 3) = 3 X=0
√(x — 8) = — 3 լուծում չկա
√(2x — 5) = 2 = X=3.5
√(4x — 4) = 0 X=1
√(3x — 1) = 3 X=10/3
√(2x — 4) = √(x + 2)
√(5x + 3) =√(3x — 4) 
√(2x + 6) = √(x + 2)
√(6x — 6) = √(4x — 8) 
√(4 — x) = √(1 — 2x) 
√(5x — 5) = √(3x + 6)

3)Լուծել հավասարումները․
x — √(x) — 6 = 0 X =9
2x — 3√(x) — 2 = 0 X=4, 0.25
x — 4√(x) — 5 = 0 X=25
x — 3√(x) + 2 = 0 X=1, 4
x — √(x) — 12 = 0 X=16
x — 7√(x) + 10 = 0 X=2, 25

10) Գտնել y=3|x և f(x)=x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերի քանակը։
Պատասխան՝ 2) 2

11) Գտնել y=-|x|+1 ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը։
Պատասխան՝ (-♾️;1]

12) Գտնել տրված քառակուսային հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը։
2x^2-2x-1=0
Պատասխան՝ 2) 2

(13-15) Գտնել արտահայտության արժեքը։

13)
(1|2+1|4):(1|8)
Պատասխան՝ 1) 6

14)
V10(2V6,4+3V4,9)
Պատասխան՝ 2) 37

15)
a^3- 1|a^3, (a- 1|a=5)
Պատասխան՝ 3) 140

(16-18) Հավասարումներ և անհավասարումներ։

16)
x^2=15x
Պատասխան՝ 4) 0; 15

1)Գտնել ֆունկցիայի թույլատրելի արժեքների բազմությունը։

ա)f(x) = √(x + 5)

х[-5:∞)

բ)f(x) = √(x + 9)

x[-9:∞)

գ)f(x) = √(2 — x)

[∞-:2)

դ)f(x) = √(4 — x)

[∞-:4)

ե)f(x) = √(8 — 2x)

(-∞;4]

զ)f(x) = √(6 — 3x)

(-∞;2]

2)Գտնել ֆունկցիայի թույլատրելի արժեքների բազմությունը։

ա)y = √(x — 3) + √(x — 5)

բ)y = √(x — 9) + √(x + 2)

գ)y = √(2x + 8) — √(4x + 4)

դ)y = √(5x — 5) — √x

3)Հաշվել f(-1), եթե

ա)f(x) = 4 / (x + 3)

f(x)=-1 -1+3=2 4/2=2

բ)f(x) = 5 / (x — 3)

f(x)=-1 -1+3=2 5/2=2,5

4)Հաշվել f(-2), եթե

ա)f(x) = |2x — 3| + 2

f(x)=-2

-2+2=0

0-3=3

3+2=5

բ)f(x) = |2x + 4| + 5

f(x)=-2

-2+2=0

0+4=4

4+5=9

գ)f(x) = |3x — 2| + 2

f(x)=-2

-2+3=1

2-1=1

1+2=3

դ)f(x) = |5x — 4| — 3

f(x)=-2

5)Հաշվել f(4), եթե

ա)f(x) = √(2x + 1) + 5

բ)f(x) = √(3x + 4) — 6

գ)f(x) =√(5x — 4) + 2

դ)f(x) = √(7x — 3) + 3

Համակարգչային ծրագրերով գծելով y = √x ֆունկցիայի գրաֆիկը՝ ստանում ենք հետևյալ պատկերը․

Նշենք գրաֆիկի որոշ առանձնահատկություններ և փորձենք բացատրել դրանք․
1)Գրաֆիկն անցնում է կոորդինատների սկզբնակետով։ Պատճառն այն է, որ x = 0 դեպքում y = √0 = 0։
2)Որոշման տիրույթը [0, +∞) բազմությունն է: Իսկապես, արմատատակ արտահայտությունը բացասական լինել չի կարող։
3)Բացի (0, 0) կետից, ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերը գտնվում են կոորդինատային հարթության առաջին քառորդում։ Իսկապես, x > 0 դեպքում y = √(x) > 0: ֆունկցիայի գրաֆիկի կետերի կոորդինատները դրական են:
4)Ֆունկցիան աճող է: Եթե x₂ > x₁ > 0, ապա √x₂ > √x₁, այսինքն՝ ֆունկցիայի արգումենտի մեծ արժեքին համապատասխանում է ֆունկցիայի մեծ արժեք:

y = √x ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կարող ենք կառուցել y = √(x-3) և y = √x — 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները: Եթե f(x) = √x, ապա y = √(x-3) բանաձևը կարող գրել այսպես` y = f(x — 3): Մենք գիտենք, որ f(x — 3) ֆունկցիայի գրաֆիկը ստանալու համար պետք է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը երեք միավորով տեղաշարժել աջ:

y = √x — 4 ֆունկցիայի գրաֆիկը գծելու համար բավական է նկատել, որ y = f(x) — 4 այսինքն՝ f(x)-ի գրաֆիկից 4 միավորով ներքև է:

Ինչպես պարաբոլի ու մոդուլի դեպքում, այստեղ ևս վերև/ներքև ու աջ/ձախ տեղաշարժերը հնարավոր է համատեղել։
Նկարում պատկերված է y = √(x+1) + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է f(x) = √(x — 2) + 1 ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 6, բ) 2, գ) 4 կետում:

ա)f(6) = √(6 — 2) + 1

6-2=4 √4=2 2+1=3

բ)f(2) = √(2 — 2) + 1

2-2= 0+1=1

գ)f(4) = √(4 — 2) + 1

4-2=2 √2=2 2+1=3

2)Տրված է f(x) = √(x + 1) ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 0, բ) -1, գ) 8 կետում:

ա)f(0) = √(0 + 1)

0+1=1 √1=1

բ)f(-1) = √(-1 + 1)

-1+1=0

գ)f(8) = √(8 + 1)

8+1=9 √9=3

3)Տրված է f(x) = -√(2x) ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 3, բ) —1, գ) –10 արժեքը:

4)Տրված է f(x) = -√(x+6)ֆունկցիան: Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) −1, բ) 0, գ) −4, դ) 3 արժեքը:

5)Նկարում պատկերված է y =√(x — x₀) + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գտե՛ք x₀ և y₀ թվերը.

6)Կառուցե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.

ա) y = √(x) — 2

բ) y = √(x) + 3

գ) y = √(x + 5)

դ) y = √(x — 3) + 5

ե) y = √(x + 2) — 8

զ) y = — √(x — 10) + 6

1)Քանի՞ երկնիշ թիվ կա, որոնց թվանշանների գումարը կենտ է:
1) 44
3) 46
2) 45
4) 47

2)Գտնել բոլոր այն երկնիշ թվերի քանակը, որոնք հավասար են իրարից տարբեր 2 պարզ թվերի արտադրյալի, որոնցից մեկը 13-ն է:
1) 3
2) 4
3) 5
4) 6

3)Քանի՞ վայրկյան է րոպեի 2/5-ը։
1) 12
2) 15
3) 24
4) 30

4)Քանի՞ անգամ 325,6 թիվը պետք է բազմապատկել 0,1-ով, որպեսզի ստացվի 0,03256:
1) 1
2) 4
3) 2
4) 3

5)Ջրի և աղի 300 գրամանոց խառնուրդում աղը 120 գրամ է: Ինչպե՞ս են հարաբերում աղի և ջրի քանակները:
1) 2:4
2) 3:2
3) 4:2
4) 2:3

6)Գտնել 3a4b²c միանդամի կարգը:
1) 2
2) 4
3) 5
4) 6

7)a³ — 3a² + a — 3 արտահայտությունը վերլուծել արտադրիչների:
1) (a — 3)(a² — 1)
2) (a + 3)(a² + 1)
3) (a — 3)(a² + 1)
4) (a + 3)(a² — 1)

8)A-ն միանիշ պարզ թվերի բազմությունն է։ Քանի՞ տարր ունի Z∩A բազմությունը:
1) 2
2) 3
3) 1
4) 4

9)Գտնել y = (x — 3)² + 1 պարաբոլի համաչափության առանցքի հավասարումը։
1) x = — 3
2) x = 3
3) x = — 1
4) x = 1

10)Գտնել x² — 2x — 5 = 0 հավասարման արմատների գումարը:
1) 5
2) -5
3) 2
4) -2

11)y = √x ֆունկցիայի վերաբերյալ ո՞ր պնդումն է ճիշտ:
1) Ֆունկցիան նվազող է։
2) Ֆունկցիայի գրաֆիկը x > 0 դեպքում դասավորված է Ox առանցքից ներքև:
3) Եթե 0 < x < 1 ապա x < √x:
4) Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը դրական թվերի բազմությունն է:

12)Քանի՞ եղանակով է հնարավոր 4 կապույտ և 4 սև գրիչներից ընտրել 1-ական կապույտ և սև գրիչ։
1) 12
2) 14
3) 16
4) 10

(13-15)Գտնել արտահայտության արժեքը:

13)

1) -0,25
2) -0,4
3) 0,25
4) 1/9

14)

1)2
2)3
3)-3
4)1

15)

1) 12
2) 2
3) 16
4) 8

(16-18) Հավասարումներ և անհավասարումներ:

16)Գտնել 3 + 2x > x + 1 անհավասարման լուծումների բազմությունը:
1) (-∞; -2)
2) (-2; +∞)
3) (-∞; 2)
4) (2; +∞)

17)Գտնել √(3x -2) ≤ 4 անհավասարման լուծումների բազմությունը:
1) [2/3; +∞)
2) (-∞; 6]
3)[2/3; 6]
4)[2/3; 14/3]

18)Լուծել x² + 5x — 6 < 0 անհավասարումը:
1) (-1; 6)
2) (-∞;-1)U(6; +∞)
3) (-6; 1)
4) (-∞; -6)U(1; +∞)

(19-20) Պրոգրեսիա

19)Գտնել (a_n) թվաբանական պրոգրեսիայի Տ₉ -ը, եթե a₃ + a₇ = 22 :

11

20) Գտնել (b_n) երկրաչափական պրոգրեսիայի b₁₀-ը, եթե (b₆)² ∙ b₁₈ = 125:

25

(21–22) Ավազանին միացված են երկու լցնող խողովակ: Առաջին խողովակով դատարկ ավազանը լցվում է 10 ժամում, իսկ երկրորդով՝ 15 ժամում։

21)Քանի՞ ժամում կլցվի դատարկ ավազանը, եթե երկու խողովակները բացեն միաժամանակ:

6

22)Առաջին խողովակը բացեցին 8 ժամով, այնուհետև փակեցին: Քանի՞ ժամ պետք է բացել երկրորդ խողովակը, որպեսզի ավազանը լցվի:

3