Category: Հանրահաշիվ

Առաջադրանքներ

1. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

x-3x=32 => -4x=32 => 8

8-y=32

-y=32-8

y=-24

Պատ․՝ (8,-4)

2. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) -x-2v+2=4

-2v-x=4-2

-2v-x=2

-x

2) -6-v

-v=-6

v=6

3․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) x-2y=-7

7(2y-7)-10y=7

14y-49-10y=7

14y-10y=49+7

4y=56

y=14

4․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) x-y-1=0

x=-y-1

(-y-1)-5=0

-y=1-5

-y=-6

y=6

2) 6-y-1=0

-y=-6-1

-y=-7

1) x-y-2=0

x=y-2

(y-2)-6=0

y=2-6

y=-4

2) x-4-2=0

x=4+2

x=6

1) x-y-2=0

x=y+2=0

3(y+2)-2y-9=0

3y+6-2y-9=0

y-6-9=0

y=3

2) x-3-2=0

x=3+2

x=5

{5,3}

1․ Ի՞նչն են անվանում երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծումը։

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:

2․ Ի՞նչ է նշանակում լուծել համակարգը։

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

3․ Ընտրել x+y=15 հավասարմանը բավարարող բնական թվերի զույգ:

• (17;−2)
• (0;15)
• (−9;−6)
• (−6;21)
• (3;5)
• (13;2)

4․ Ընտրել այն հավասարումը, որին բավարարում է (2;1) թվազույգը:

• 15x−12y=3
• 6x+8y=1
• 7x+3y=10
• 4x−3y=7
• 6x−2y=4
• 10x−11y=9

5․ Համակարգի հավասարումներում անվանել գործակիցները և ազատ անդամները.

ա) 1. Գործակիցները 2 և 3, ազատ անդամը 1:

2. Գործակիցները 3 և -2, ազատ անդամը -4:

բ) 1. Գործակիցը -1, ազատ անդամը 0:

2. Գործակիցը -2, ազատ անդամը -6:

գ) 1. Գործակիցները -3 և -2, ազատ անդամը 7:

2. Գործակիցը 2, ազատ անդամը 5:

դ) 1. Գործակիցը -4, ազատ անդամը -5:

2. Գործակիցը 2, ազատ անդամը 4:

6․ Հանդիսանում է արդյո՞ք (2;1) թվազույգը հետևյալ համակարգի լուծում:

4+11=15

20-11=9

Այո, հանդիսանում է։

7․ Ցույց տալ, որ (1;2) թվազույգը համակարգի լուծում է.

ա) 1+2-3=0

1-2+1=0

Այո, համակարգի լուծում է

բ)

2,5-2,5=0

1/2-1/2=0

Այո, համակարգի լուծում է

8․ Ցույց տալ, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.

ա)-4-1+5=0

-2+1=3=0

Ոչ, համակարգի լուծում չէ

բ)-4+5-1=0

-6-4=0

Ոչ, համակարգի լուծում չէ

9․ Տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը՝

Հայտնի է, որ (−6;9) թվազույգը նրա լուծումն է: Որոշել a և b գործակիցները:

-6+2 x 9=12

-1 x (-6) +2 x 9=24

a=2

b=-1

1․ Որոշիել ax+2y=16  հավասարման a գործակցի արժեքը, եթե հայտնի է, որ (−2; 4) թվազույգը այդ հավասարման լուծում է:

-2a+8 = 16

-2a = 16 – 8

a = 8/2 = 4

2․ Տված հավասարումներից y-ը արտանայտել x-ով:

ա) 2x+y=6

y = 6 – 2x

բ) 3x+y=7

y = 7 – 3x
գ) x+y-8=12

y = 12 + 8 – x

y = 20 – x
դ) y+2=6x

y = 6x – 2
ե) 3x+2y=9

2y = 9 – 3x

y= 9/2 – 3x/2
զ) -4x+2y=13

2y = 13 + 4x

y = 13/2 + 2x

3․ Տված հավասարումներից x-ը արտանայտել y-ով:

ա) x-y+5=0

x=-5-y
բ) 2x-3y+9=0

2x = -9 +3y

x = -9/2 + 3/2y
գ)15x+y-8=0

15x = -y+8

x = 8/15-y/15
դ) x+3y-15=0

x = -3y+15
ե) 7x+y=6

7x = 6 – y

x = 6/7-y/7
զ) -4x+y=-19

-4x = -19-y

x = 19/4 + y/4

1) Ո՞ր հավասարումն են անվանում երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում: Բերեք օրինակներ:

ax+by+c=0 (1)

Հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ըն որում a և b թվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ը անհայտներ են, անվանում են երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:

3x+2y-1=0

2) Ի՞նչն են անվանում ax+by+c=0 հավասարման լուծում, որտեղ a և b գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի:

ax, by, c  արտահայտություններնանվանպւմ են (1) հավասարման անդամներ: Ընդ որում c թիվն անվանում են ազատ անդամ:

3) Քանի՞ լուծում ունի x-y+1=0 հավասարումը:

Քանի որ x₀ թվերը անվերջ շատ են, ապա և (2) հավասարման լուծումները անվերջ շատ կլինեն:

4) Տրված a, b, c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում.

ա) a=5, b=4, c=-2;

5x+4y-(-2)

բ) a=0, b=-3, c=4;

0x-(-3y)+4=0

գ) a=0, b=2, c=-1;

0x+2y-(-1)

դ) a=-5, b=-1, c=0:

(-5x)+(-1y)+0

5) Ցույց տվեք, որ (1;-1), (5;-7), (-3; 5) թվազույգերը 3x+2y-1=0 հավասարման լուծումներն են:

(1;-1)

3*1+2*(-1)-1=0

3-2-1=0

(5;-7)

3*5+2*(-7)-1=0

15-14-1=0

(-3; 5)

3*(-3)+2*5-1=0

-9+10-1=0

6) Գտեք հավասարման երեք լուծում.

ա) x+y-5=0;

1. x=4
y=1
4+1-5=0

2. x=2
y=3
2+3-5=0

3. x=-2
y=7
-2+7-5=0

բ) y-5=0;

1. y=5

5-5=0

2. y=0

0-5=0

գ) 2x-y+2=0:

1. x=-2
y=-2

2*(-2)-(-2)+2=0

-4-(-2)+2=0

7) (1;3) թվազույգը հավասարման լուծու՞մ է.

ա) 2x-3y+5=0-ոչ
2*1-3*3+5=0
2-9+5

բ) -x+y-2=0-այո

-1+3-2=0
2-2=0

գ) x-y-6=0-ոչ

1-3-6=0

դ) 7x-3,2y+4=0-ոչ

7*1-3,2*2+4=0
7-6,4+4=4,6

8) Տված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով.

ա) x+y=5

y=5-x

բ) 2x-y=3;

-y=3-2x
y=2x-3

գ) -3x+2y=7:

2y=7+3x
2y=3x+7
y=3/2x+7/2

դ) -3,5x+2y=0,2:

2y=0,2+3,5x

2y=3,5x+0,2

1. Հաշվել ա) 3³ , բ) 8² , գ) 6⁴ , դ) 1²⁰⁰⁰2:
1) 3³=27 2) 8²=16 3) 6⁴=24 4) 1²⁰⁰⁰2=2:

2. Գրել ցուցչային տեսքով՝
ա) 2 ⋅ 2 ⋅ 2,
բ) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5,
գ) 2³ ⋅ 2 ⋅ 2:

1) 2³, 2) 5⁶, 3) 2⁵:

3. Գրել 10 աստիճանի  տեսքով՝
ա) հարյուր հազար,
բ) մեկ միլիոն,
գ) մեկ միլիարդ:

1) 100.000=10⁵ 2) 1.000.000=10⁶ 3) 1.000.000.000=10⁹:

4. Հաշվել 10³ և 6² թվերի արտադրյալը։
10^{3_{(10x10x10=1000)}}+6^{2_{(6×6=36)=(1000+36)}}=1036

5. Համեմատել ա) 2³⁰ և 2³¹ թվերը, բ) 7¹⁰ և 9¹⁰ թվերը։

1) 2³⁰<2³¹, 2) 7¹⁰<9¹⁰

 6․ 5, 2, −5 թվերից որո՞նք են հետևյալ հավասարման լուծումները.
ա) x — 2 = 0,
բ) 2x -10  = 0,
գ) 3x +15 = 0 

1)2, 2)5, 3)-5:

7. –3, 12, 1, –5 թվերից որո՞նք են նշված հավասարման լուծում.

ա) x + 3 = 0,
բ) 2x – 25 = –1,
գ) 3y + 10 = 1,
դ) 5y + 7 = 2 (y – 1) + 12

1)-3 2)12 3)-3 4)1

8. Ուղղանկյան պարագիծը 48 սմ է։ Գտնել ուղղանկյան կից կողմերի գումարը։

Ուղղանկյան կից կողմերի գումարը պարագծի կեսն է:

Պատասխան՝ 24 սմ.

9․ Դպրոցի երկու դասարանում կա 54 սովորող, ընդ որում ՝ մի դասարանում մյուսից 4 սովորողով ավելի։ Քանի՞ սովորող կա դասարաններից յուրաքանչյուրում։ 

1 դաս․25 2 դաս․29

445.

ա) աղջիկները՝ 15 հոգի, տղաները՝ 12 հոգի
բ) աղջիկները՝ 11 հոգի, տղաները՝ 16 հոգի
գ) 12+18=28
դ) 15+11=26
ե) 28+26=54

446.

447.

3 րոպեին ջերմաստիճանի 30 աստիճան էր։
5 րոպեին ջերմաստիճանի 75 աստիճան էր։
7 րոպեին ջերմաստիճանի 100 աստիճան էր։
7-րդ րոպեին են անջատել
Այ եռացել 7 րոպե։

448.

ա) Ժամը 7 նրանք հասել են լիճ։
բ) Նրանք այդ ընթացքում թկնորսում էին։
գ) 5 րոպե։
դ) V=5:60=1/12 կմ/ր
ե) V=5:5=1 կմ/ր

449.

ա) Ժամը 4=2 աստիճան
Ժամը 8=0 աստիճան
Ժամը 12=3աստիճան
Ժամը 21=1 աստիճան
Ժամը 23=-2աստիճան
բ) Ժամը 8-ից մինչև 22
գ) Ժամը 24-ից մինչև 8 և Ժամը 22-ից մինչև 24

Ժամը 8-ից մինչև 22

450.

ա) 5 ժամ հետո։
բ) ժամ հետո։

ա․672:42+21*39=835
բ․989:43-912:48=4
գ․(720-695)*(975:25)=975
դ․(109+839):(312-233)=12
ե․65254:79-45563:97=47
զ․37115:65+72675:85=1426
է․407*720-350*509-43272:72=114289
ը․564*702-164*756+148*916-48762:86=406945
թ․8694:(4096-(1458+2316))=27
ժ․8072:(6013-23*65)=2

ա․756-79+79=756
բ․213+395+187=795
գ․25*178*4=17800
դ․8*53*125=53000

ա․68*48+68*52=6800
բ․59*37+59*63=5900
գ․87*29+87*71=8700
դ․17*73-63*17=170
ե․382*500-400*382=38200
զ․756*350+756*650=756000
է․352*18։9=704
ը․748*36։18=1496
թ․126*96։32=378
ժ․172*256։128=344

ա․2*4*5 2*3*4
բ․
գ․
դ․

ա․
պարզ 89
բաղադրյալ 123 279
բ․
պարզ 335 601
բաղադրյալ 642

ա․(2³)²=2^3*2 2³*2²=2³⁺²
բ․(2²)³=2^2*3 2²*2³=2²⁺³
գ․(3²-2³)⁵=1⁵=1
դ․ (3³-2²)²=5²=10

ա․2³
բ․2⁵
գ․3³
դ․2¹⁰

522.

ա) 24/36=2/3
բ)108/252=39/84=13/28
գ)144/216=2/3
դ)1800/4500=18/45=2/5

523.
ա)6/9=2/3
բ)28/40=7/10
գ)12/32=3/8
դ)15/75=1/5
ե)64/36=1 7/9
զ)276/108=2 5/9
է)7=14/2
ը)1 1/3=4/3

524.
ա)171717/252525=1717/2525=17/25
բ)313131/757575=3131/7575=31/75

525.
ա)2/1=1/2
բ)1/5=5
գ)2 1/3=7/3=3/7
դ)1,3=1 3/10=13/10=10/13

526.
ա)7/8>5/8
բ) 1 1/7=8/7
գ)1/2>1/3
դ)3/5 <3/4
12/20 <15/20
ե) 1 2/3 > 3/4
5/3 >3/4
20/12 >15/12
զ)10/7 1 3/6
10/7 9/6
50/42 < 63/42

527.
ա)1/2+1/2=2/2=1
բ)1/7+1/7=2/7
գ)3/5+4/5=7/5=1 2/5
դ)1 1/3+2/3=4/3+2/3=6/3=2
ե)2 7/9+4/9=25/9+4/9=29/9=3 2/9
զ)3 2/5+12 4/5=3+2/5+12+4/5=15 6/5=16 1/5

529/118.
ա)9/11-8/11=1/11
բ)6/7-2/7=4/7
գ)1-1/9=(9-1)/9=8/9
դ)12-1/3=(36-1)/3=35/3=11 2/3
ե)127-2/5=(635-2)/5=633/5=126 3/5
զ)193-4/9=1733/9= 192 5/9
է)13 3/4-1/2=13+3/4-1/2=13+1/4=13 1/4
ը)13 1/2-1/3=13+1/2-1/3=13+1/6=13 1/6
թ)15 4/5-8 2/5=15+4/5-8-2/5=7 2/5
ժ)20 3/8 -16 1/4=20+3/8-16-1/4=4 1/8
ի)3 1/6-1/3=3+1/6-1/3=3+(1-2)/3=2 1/6
լ)2 1/3-1/2=2+1/3-1/2=2+(2-3)/6=1 1/6
խ)10 1/5-2/5=10-1/5=9 1/5
ծ)3/7-2/5=(15-14)/35=1/35
կ)3 1/2-2 2/3=7/3 -8/3=-1/3

529.
ա)1/2∙1/3=1/6
բ)2/6∙6/7=2/7
գ)7/8∙24/49=3/7
դ)100/121∙55/144=(25∙5)/(11∙36)=125/396
ե)3/8∙2=3/4
զ)4/5∙6=24/5=4 4/5
է)3 ∙1 1/8=3 ∙9/8=27/8=3 3/8
ը)0∙1/4=0
թ)4 ∙2 1/12=4∙25/12=25/3=8 1/3

530.
ա) 4 2/3 9/14=14/3∙9/14=3
բ)2 1/4∙1/14=9/4∙1/14=
գ)7/8∙24/49=3/7
ե)4/7∙3 1/16=4/7∙49/16=1/4
զ)1 1/2∙2 2/3=3/2∙8/3=4
է)2 1/7∙1 13/15=15/7∙28/15=4
ը)10 1/2∙1 1/2=21/2∙3/2=63/4=15 3/4

531.
ա)1/2:1/3=1/2∙3/1=3/2=1 1/2
բ)2/5:15/18=2/5∙18/15=36/30=1 6/30=1 2/15
գ)14/15:18/25=14/15∙25/18=(7∙5)/(3∙9)=35/27=1 8/27
դ)3/7:63/84=3/7∙84/63=12/21
ե)2/3:2=2/3∙1/2=3
զ)6/7:3=6/7∙1/3=2/7
է)10:5/10=10∙10/5=20
ը)9/3:13=3∙1/13=3/13
թ)1 1/2:8=3/2∙1/8=3/16
ժ)10:2 1/2=10∙2/5=4
ի)3 2/5:34=17/5∙1/34=1/10
լ)18:7 1/5=18∙5/36=5/2=2 1/2

532.
ա)(4 2/8+5 1/2)∙6=(4+2/8+5+1/2)∙6=(9+(2+4)/8)∙6=9 2/3∙6=29/2∙6=29∙3=87
բ)(4-1 1/3∙2)∙1/2=(4-4/3∙2)∙1/2=(4-2/3)∙1/2=10/3∙1/2=5/3=1 2/3
գ)6 3/5∙7 1/6-2 1/6∙6 3/5=6 3/5(7 1/6-2 1/6)=6 3/5(7+1/6-2-1/6)=6 3/5∙5=33/5∙5=33
դ)3 3/4∙3 3/4+3 3/4∙1/2=3 3/4(3 3/4+1/2)=3 3/4(15/4+1/2)=3 3/4∙(15+2)/4=15/4∙17/4=255/16= 15 15/16

1. Վերլուծի՛ր արտադրիչների.

1) p³ + q³ = (p + q)(p² — pq + q²)

2) p³ — q³ = (p — q)(p² + pq + q²)

3) a³ + 8 = (a + 2)(a² — 2a + 4)

4) b³ — 27 = (b — 3)(b² + 3b + 9)

5) y³ + 1 = (y + 1)(y² — y + 1)

6) x³ — 8 = (x — 2)(x² + 2x + 4)

7) p³ — 1 = (p — 1)(y² + y + 1)

8) m³ + 64 = (m + 4)(m² — 4m + 16)

9) 1 — q³ = (1 — q)(1 + q + q²)

10) 1 + c³ = (1 + c)(1 — c + c²)

11) 1 — 8a³ = (1 — 2a)(1 + 2a + 4a²)

12) 27 — 8x³ = (3 — 2x)(9 + 6x + 4x)

13) 8a³ + b³ = (2a + b)(4a² — 2ab + b²)

14) 27x³ — 8y³ = (3x — 2y)(9x² + 6xy + 4y²)

15) 125b⁶ + 216 = (5b² + 6)(25b⁴ — 30b² + 36)

16) 343a⁶ — 64b³ = (7a² — 4b)(49a⁴ + 28a²b + 16b)

17) 1/64x³ — 1/27 = (1/4x — 1/3)(1/16x + 1/12x + 1/9)

18) 0,008m⁶ — 0,027n⁶ = (0,2m² — 0,3n²)(0,04m⁴ + 0,06m²n² + 0,9n⁴)

2. Բազմանդամը վերլուծիր արտադրիչների.

1) 25 — x² = (5 — x)(5 + x)

2) c² — 36 = (c — 6)(c + 6)

3) a² — 1 = (a — 1)(a + 1)

4) 1 — m² = (1 — m)(1 + m)

5) 4x² — 9 = (2x — 3)(2x + 3)

6) m² — 4n² = (m — 2n)(m + 2n)

7) 36p² — 25 = (6p — 5)(6p + 5)

8) 1 — 81x² = (1 — 9x)(1 + 9x)

9) 1/4a² — b² = (1/2a — b)(1/2a + b)

10) 1/9x² — 1/4y² = (1/3x — 1/2y)(1/3x + 1/2y)

11) a²b² — 4 = (ab — 2)(ab + 2)

12) x²y² — 9 = (xy — 3)(xy + 3)

Հավելյալ խնդիրներ

3. Կատարի՛ր բազմապատկում

1) (m + n)(m — n) = m² — mn + mn — n² = m² — n²

2) (p — q)(p + q) = p² + pq + qp — q² = p² — q²

3) (c + d)(d — c) = cd — c² + d² — cd = c² + d²

4) (a — b)(b + a) = ab + a² — b² — ab = a² — b²

5) (x + 1)(x — 1) = x² — x + x — 1 = x² — 1

6) (a + 2)(2 — a) = a2 — a² + 2² — a2 = a² + 4

7) (2a + b)(2a — b) = 4a² — 2ab + 2ab — b² = 4a² — b²

8) (5x + y)(y — 5x) = 5xy — 25x² + y² — 5xy = — 25x² + y²

9) (2m — 3n)(3n + 2m) = 6mn + 4m² — 9n² — 6mn = 4m² — 9n²

10) (1/3x — 1/2y)(1/3x + 1/2y) = 1/9x² + 1/6xy — 1/6xy — 1/4y² = 1/9x² — 1/4y²

11) (2/3a + 3/4b)(2/3a — 3/4b) = 4/9a² — 6/12ab + 6/12ab — 9/16b = 4/9a² — 9/16b

12)(2xy + 1)(1 — 2xy) = 2xy — 4x²y² + 1 — 2xy = — 4x²y² + 1

1) Պարզեցնել ամբողջ արտահայտությունը.

ա) (5ab²+4b³)(3ab³-4a²)-18a²b³=15a²b⁵-20a³b²+12ab⁶-16a²b³

բ) (x³+x²y+xy²+y³)(x-y)-x²y(x-y)=x⁴+2x²y²-x³y-y⁴

գ) a²(a²-b²)-(a³b+3)(a-4)=𝑎4−𝑎2𝑏2−(𝑎3𝑏+3)(𝑎−4)

դ) 6(x-1)(x+1)+2(x+1)(x²-x+1)=2(𝑥+1)(𝑥2+2𝑥−2)

ե) (x+2)(x2-2x+4)-x(x-3)=𝑥3−𝑥2+3𝑥+8

2) Հաշվեք ամբողջ արտահայտության արժեքը x=-10 դեպքում.

ա) 3x-8=-38

բ) 3x²+4x+5=75²

գ) x⁴-3x³+2x²-1000=7200

դ) -x³+x²+1=-59

Առաջադրանքներ (տանը)

3) Գինեգործը իր գինին հիմնականում վաճառում է 30 և 50 լիտրերով և դրա համար օգտագործում է հենց համապատասխան տարողության տարաներ: Գնորդներից մեկը ցանկանում է գնել 10 լիտր գինի: Ինչպե՞ս գինեգործը չափեց այդ 10 լիտրը՝ օգտագործելով միայն սեփական տարաները:

50-30=20
50-20=30
50-30=20
30-20=10

4) Գտեք ամբողջ արտահայտության արժեքը a=-1; b=2; c=3 դեպքում.

ա) -6
բ) -84
գ) 18
դ) -567
ե) -19
զ) -323