Category: Հանրահաշիվ

1)Գտե՛ք ֆունկցիայի զրոները.
ա) y = |x|

x=0
բ) y = |x + 2| — 8

x=6, -10
գ) y = — 2|x| — 4

դ) y = 3|x — 1| — 6

x = 3, x = −1
ե) y = 0.5|x + 2| — 3

x = 4, x = −8
զ) y = — 5|x| + 10

x = 2, x = −2

2)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x + 1|

բ) y = |x — 5|

գ) y = |x + 6|

դ) y = |x — 3|

3)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x| + 1
բ) y = |x| + 4
գ) y = |x| — 3
դ) y= |x| — 1

4)Գծե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = |x — 1| + 1
բ) y = |x + 4| — 2
գ) y = |x — 3| — 3
դ) y = |x + 6| — 1

(13-15) Գտնել արտահայտության արժեքը:
13 (0.5- 1|3):|-2|3|
1)-0,25
2) -0,4
3) 0,25
4)1/9

0.5=1|2​,1 1|3​=4|3​

1|2​−4|3​=−5|6​

∣−2∣³=8

−5|6​:8=−5|48≈−0,25

14 եթե a = 4 (a³ + 27)|(a² — 3a + 9) * (a — 1)|(a + 3)
1) 2
2) 3
3) -3
4) 1

(a³+27)=4³+27=64+27=91

(a²-3a+9)=16-12+9=13

(a-1)=3

(a+3)=7

15 (6³ * 4²)|(3³ * 2⁴)

216 * 8=1728|27*16=432
1) 12
2) 2
3) 16
4) 8

Հաջորդականությունն անվանում ենք d տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիա, եթե հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ, սկսած երկրորդից, ստացվում է իր նախորդին d գումարելով։ d-ն անվանում ենք թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն։

d տարբերությամբ թվաբանական պրոգրեսիայի համար տեղի ունի a_{n + 1} = a_n + d հավասարությունը: Թվաբանական պրոգրեսիայի ընդհանուր անդամի բանաձևը.

a_n = a₁ + d(n — 1)

Օրինակ 1.
Գրենք թվաբանական պրոգրեսիայի a₁, a₂,…,a₆ անդամները, եթե տրված է, որ a₁ = — 2, d = 4:
Հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ անդամը նախորդից մեծ է 4-ով։ Հաջոր-դականության երկրորդ անդամն է.
a₂ = a₁ + d = — 2 + 4 = 2, իսկ երրորդ անդամն է a₃ = a₂ + d = 2 + 4 = 6: Շարունակելով ստանում ենք հետևյալ հաջորդականությունը. -2, 2, 6, 10, 14, 18, …:

{a_n} թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին ո անդամների գումարն ընդունված է նշանակել S_n — ով.
S_n = a₁ + a₂ +…+a_n

Պարզվում է, որ տրված հաջորդականության համար կա S_n-ը հաշվելու բանաձև.

S_n = n * (a₁ + a_n)/2

Տեղադրելով a_n = a₁ + d(n — 1)-ն S_n -ի բանաձևի մեջ, կստանանք․

S_n = n * (a₁ + a₁ + d(n — 1))/2 = n * (2a₁ + d(n — 1))/2

Օրինակ 2․

{a_n} թվաբանական պրոգրեսիայում ա) a₁ = 5, a₁₀ = 8: Հաշվենք S₁₀ — ը:

S₁₀ = 10 * (a₁ + a₁₀)/2 = 65

Օրինակ 3․

{a_n} թվաբանական պրոգրեսիայում a₁ = 3 d = -7: Հաշվենք S₁₀ — ը:

S₁₀ = 10 * (2 *3 + (10 — 1)(-7))/2 = 10 * (-57)/2 = -285

Առաջադրանքներ․

1)Գտե՛ք տրված թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունը.

ա) 9, 11, 13, 15,

d=2
բ) 1, 0, -1, -2

d=-1
գ) 3, 7, 11, 15,

d=4
դ) 4, 1, -2, -5,

d=-3
ե) 1, 1.5, 2, 2.5,

d=0,5
զ) 7.5, 6.2, 4.9, 3,3,

2)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներից ինչ-որ մեկը և d տարբերությունը: Գտե՛ք պրոգրեսիայի առաջին չորս անդամները.

ա)a₁ = 2 d = 5

a₁ = 2

a₂ = 2 + 5 = 7

a₃ = 7 + 5 = 12

a₄ = 12 + 5 = 17

Պատասխանը: 2, 7, 12, 17

բ)a₁ = 9 d = — 3

a₁ = 9, d = -3

a₂ = 9 — 3 = 6

a₃ = 6 — 3 = 3

a₄ = 3 — 3 = 0

Պատասխանը: 9, 6, 3, 0

գ)a₂ = — 2 d = 1.5

a₁ = a₂ — d = -2 — 1.5 = -3.5

a₂ = -2

a₃ = -2 + 1.5 = -0.5

a₄ = -0.5 + 1.5 = 1

Պատասխանը: -3.5, -2, -0.5, 1

դ)a₃ = — 7 d = — 3.5

a₁ = a₃ — 2d = -7 — 2(-3.5) = -7 + 7 = 0

a₂ = 0 — 3.5 = -3.5

a₃ = -7

a₄ = -7 — 3.5 = -10.5

Պատասխանը: 0, -3.5, -7, -10.5

3)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₁₂ — ը, եթե a₁ = 5, a₁₂ = 35
բ)S₉ — ը, եթե a₁ = 4, a₉ = 28
գ)S₁₇ — ը, եթե a₁ = 4, a₁₇ = 45
դ)S₅ — ը, եթե a₁ = 2, a₅ = -8

ա) 240

բ) 144

գ) 416.5

դ) -15

4)Տրված է {a_n} թվաբանական պրոգրեսիան։ Հաշվե՛ք.

ա)S₁₀ — ը, եթե a₁ = 3, d = 4
բ)S₈ — ը, եթե a₁ = 7, d = 1
գ)S₁₃ — ը, եթե a₁ = 4, d = -1
դ)S₅ — ը, եթե a₁ = -4, d = 2

ա)S₁₀ = 210 բ)S₈ = 84 գ)S₁₃ = -26 դ)S₅ = 0

A(x) * B(x) = 0 տեսքի հավասարումը, որտեղ A(x)-ը և B(x)-ը x-ի նկատմամբ բազմանդամներ են, անվանում ենք վերածվող հավասարում:

Օրինակ՝ (x² + 5)(x³ — 6x + 7) = 0 վերածվող հավասարում է, մինչդեռ (x² + 5)(x³ — 6x ) + 7 = 0 հավասարումը՝ ոչ:
A(x) ∙ B(x) = 0 վերածվող հավասարումը համարժեք է

համախմբին, քանի որ A(x) ∙ B(x) արտադրյալը հավասար է 0-ի, երբ արտադրիչներից գոնե մեկը 0 է:

Օրինակ 1.
Լուծենք (x — 2)(x² — x + 7) = 0 վերածվող հավասարումը:
Հավասարումը գրենք համարժեք համախմբի տեսքով.

Համախմբի առաջին հավասարման լուծումն է x = 2: Երկրորդ հավասարման տարբերիչը բացասական է՝ D = (- 1)² — 4 ∙ 1 ∙ 7 = — 27 հետևաբար այն լուծում չունի: Այսպիսով, համախումբն ունի մեկ լուծում՝ x = 2:

Օրինակ 2.
Լուծենք (x² + 5)(x — 3)(x² — 4x + 3) = 0 հավասարումը: Հավասարումը
գրենք համախմբի տեսքով.

Համախմբի առաջին հավասարումը լուծում չունի, երկրորդն ունի մեկ լուծում՝ x = 3 իսկ երրորդը՝ երկու լուծում՝ x = 1 և x = 3: Այդ լուծումների բազմությունների միավորումից ստացվում են հավասարման արմատները՝ x = 1 և x = 3` x∈{1;3}:

Առաջադրանքներ․

1)Լուծե՛ք վերածվող հավասարումը.

ա) (x + 5)(x — 7) = 0

x+5=0 x=-5

x-7=0 x=7

Պատ․՝x={-5, 7}

բ) 4x² = 0

Պատ․՝ 0

գ) 2(x — 5)² = 0

Պատ․՝x=5

դ) (3x + 12)(4 — x) = 0

Պատ․՝x=-{4,4}

ե) — 2x²(x + 1) = 0

Պատ․՝ x=-1

զ) (5 — x)(x — 9) = 0

Պատ․՝ x= {5,9}

2)Լուծեք հավասարումը․

ա)(x² + 5x + 6)(x + 2) = 0

x²+5x+6=0 x=−2,−3

x+2=0 x=−2

Պատ․՝x={-3,-2}

բ)(x² — 9x + 14)(x — 7) = 0

x²−9x+14=0 x=2,7

x−7=0 x=7

Պատ․՝ x={2,7}

գ)(x² + 7x + 10)(x² — 25) = 0

x²+7x+10=0 x=−5,−2

x²−25=0 x=5,−5

Պատ․՝ x={-5,-2,5}

դ)(x² — 7x + 12)(x² — 6x + 10) = 0

x²−7x+12=0 x=3,4

Պատ․՝x={3,4}

ե)(x² — 15x — 16)(x² + 8x + 7) = 0

x²−15x−16=0 x=16,−1

x²+8x+7=0 x=−1,−7

Պատ․՝ x={-7,-1,16}

զ)(x² — 4x + 3)(x² + 4x + 3) = 0

x²−4x+3=0 x=1,3

x²+4x+3=0 x=−1,−3

Պատ․՝x={-3,-1,1,3}

1)2/3 ; 3/4; 4/5; 5/6 թվերից ո՞ րն է փոքր։
1) 2/3
2)3/4
3)4/5
4)5/6

2)Ո ՞ր թվով պետք է փոխարինել աստղանիշը, որպեսզի 35/* = 5/7
1)49
2)7
3)14
4)5

3)Գտիր ամենամեծ երկնիշ պարզ թիվը։
1)97
2)83
3)11
4)99

4)Ո՞րն է այն թիվը, որի 20% — ը հավասար է 16 — ի։
1)32
2)60
3)48
4)80

5)Գտնել 432 թվի թվանշանների միջին թվաբանականը։
1)2
2)4;5
3)3
4)4

6)Գտնել p(x)-ը g(x) -ի բաժանելիս ստացված մնացորդը, եթե
p(x) = x² — 6x + 7, g(x) = x — 3
1)2
2) -2
3)10
4)3

7)ac — 3xc + 4a -12x արտահայտությունը վերլուծել արտադրիչների։
1) (c + 4)(a — 3x)
2)(c+3)(a-2x)
3) (c + 1)(a — 3)
4 (c + 2)(c + a)

8)Գտնել x-ը, եթե {x ; 8} ∩ {2; 4; 7} = {4} :
1)2
2)4
3)8
4)7

9)a — ի ՞նչ արժեքի դեպքում է տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը հավասար 12 — ի։
x² — 8x — 4a = 0
1)3
2)4
3) -3
4)1,5

10)Նշված ֆունկցիաներից որի՞ գրաֆիկն է զուգահեռ y = 3x — 4 ֆունկցիայի գրաֆիկին:
1) y = 2x — 4
2) y = 4x — 4
3) y = x — 4
4) y = 3x — 1

11)Գտնել y = |4x — 4| + 10 ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը :
1) [10; ∞)
2) (-∞; 10]
3)(1; 10)
4)10

12)Խաղընկերը նետում է 2 զառ։ Ինչքա՞ն է հավանականությունը, որ զառերի բացված թվանշանների գումարը կլինի` 5:
1)1/9
2)1/3
3)5/36
4)1/4

(13-15)Գտնել արտահայտության արժեքը։
13) (1/6 — 1/3) * 6
1)-2
2) -3
3)-1
4) 1

14) (√3 — √2)² + 2√6
1) -5
2)2√6
3)-2√6
4)5

15)|x — 2| + x + 8 , x < 2
1)10
2) 2x — 6
3)2x
4)6

(16-18) Հավասարումներ և անհավասարումներ։
16)Գտնել 12x — (12x + 4) = — 4 հավասարման արմատները։
1)իմաստ չունի
2)4
3) -4
4) R

17)Լուծել (x + 4)(x — 3) < 0 անհավասարումը։
1) (- ∞; — 4 ] U [ 3 ; ∞)
2) (-4; 3)
3) (-∞; -3]U (4; ∞)
4) [-3; 4]

18)Լուծել տրված անհավասարումը։
√(2x+6) < 2
1) [-3; -1)
2) (-∞; -1)
3) R
4) (-3; -1]

(19-20) Պրոգրեսիա։

19)Տրված է -3 ; 2; 7 …..թվաբանական պրոգրեսիան։ Գտնել պրոգրեսիայի
չորրորդ անդամը։

20)Գտնել x -ը, եթե x; 6; 72 թվերը կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա։

(21-22) 45 էջ մուտքագրելու համար աշխատակիցներից առաջինը ծախսում է 5 ժ, իսկ երկրորդը` 9 ժ:

21)Քանի՞ էջ կարող են նրանք միասին մուտքագրել 2 ժանում:

1ժ 14էջ
2 ժ 28 էջ

22)Համատեղ աշխատելով` նրանք քանի՞ ժամում կմուտքագրեն 560 էջ։

560 / 14 = 40 ժամ

(23-25) Շեղանկյան փոքր անկյունագիծը 9 է, իսկ փոքր անկյունը` 60:

23)Գտնել շեղանկյան մակերեսը։

S = d²·sin60° /2 = ≈35

24)Գտնել շեղանկյան պարագիծը։

36

25)Գտնել շեղանկյան բարձրությունը։

~7.8

26)M և N կետերը գտնվում են AB = 30 երկարություն ունեցող հատվածի վրա։
AM = NB, MN = 5: Գտնել AM հատվածի երկարությունը։

AM = 12.5

27)O կենտրոնով և AB = 6 տրամագծով շրջանագծի A կետից տարված է AC լարը: O կետի հեռավորությունը AC լարից 1,5 է։ Գտնել < ABC — ն :

∠ABC = 30°

28)ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտնել զուգահեռագծի մակերեսը, եթե AOK եռանկյան մակերեսը`4 է, որտեղ K-ն AD կողմի միջնակետն է։

S = 4·8 = 32

(29-30) Տրված են A(2; -4) և B(5; 0) կետերը։

29)Գտնել AB վեկտորին հակադիր վեկտորի կոորդինատները։

AB = (3,4) (−3,−4)

30)Գտնել A և B կետերի հեռավորությունը։

√(3²+4²) = 5

(31-32)CH -ը C ուղիղ անկյունով ABC ուղղանկյուն եռանկյան բարձրությունն
է, AC : BC = 3 : 4, AB = 25:

31)Գտնել CH բարձրության երկարությունը։

12

32)Գտնել եռանկյանը արտագծած շրջանագծի շառավիղի երկարությունը։

12.5

(33-34) Սայլի առջևի անիվի շրջանագծի երկարությունը 2 մ է, իսկ հետևի անիվինը`3 մ :

33)Քանի՞ պտույտ կկատարի առջևի անիվը, եթե սայլն անցնի 100 մ ճանապարհ։

100 / 2 = 50 պտույտ

34)Քանի՞ մետր ճանապարհ կանցնի սայլը, եթե առջևի անիվը 10 պտույտ ավելի կատարի, քան հետևի անիվը։

60 մ

Թեմա՝ Պարաբոլի տեղաշարժերը

f(x) = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը աջ/ձախ և վերև/ներքև տեղաշարժելով ու y-ների առանցքների երկայնքով ձգելով՝ կստանանք տարբեր ֆունկցիաների գրաֆիկներ։ Այս դասին ուսումնասիրենք այդ ձևափոխությունները։

1) f(x) = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 միավորով աջ տեղաշարժելով՝ կստանանք f(x−3) = (x−3)² ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այն (3, 0) գագաթով պարաբոլ է ։
y = (x − x ₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը (x₀, 0) գագաթով պարաբոլ է։
2) f(x) = (x − x₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգելով՝ կստանանք y = a(x − x₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը։
3) f(x) = 2 (x − 3)² ֆունկցիայի գրաֆիկը 7 միավորով վերև տեղաշարժելով՝ կստանանք f(x) + 7 = 2(x − 3)²  + 7-ի գրաֆիկը։ Այս տեղաշարժիարդյունքում պարաբոլի գագաթը (3, 0) կետից կտեղափոխվի (3, 7) կետը։
Ամփոփենք. y = 2(x − 3)²  + 7 ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգած պարաբոլ է, որի գագաթը (3, 7) կետն է։

y= a(x − x₀) ² + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքովa անգամ ձգած և (x₀, y₀) գագաթով պարաբոլ է։ Եթե a > 0, ապա պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ a < 0 դեպքում ՝ ներքև: ( x₀;y₀) կոորդինատներով կետը կոչվում է պարաբոլի գագաթ։ 

Առաջադրանքներ։

1․ Գծել f(x) = x² պարաբոլը։ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x)-ի գրաֆիկը տեղափոխենք ա) 2 միավորով աջ, բ) 5 միավորով ձախ։

ա) 2 միավորով աջ տեղափոխելիս
y=(x−2)²

բ) 5 միավորով ձախ տեղափոխելիս
y=(x+5)²

2․ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x) = 3x² ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղափոխենք ա) 4
միավորով ձախ, բ) 1 միավորով աջ։

3․ Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժելով ա) 5 միավորով աջ, բ) 12 միավորով ձախ՝ ստացվել է y = x² պարաբոլը։ Գտնել f(x) ֆունկցիայի բանաձևը։

Ա)

Բ)

4․ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x) = x² պարաբոլը տեղափոխենք.
ա) 2 միավորով աջ և 4 միավորով ներքև,

բ) 5 միավորով ձախ և 1 միավորով վերև,

գ) 2 միավորով ներքև և 1 միավորով աջ,

դ) 3 միավորով ձախ և 5 միավորով ներքև։

Ա)

Բ)

Գ)

Դ)

5․ Պատկերե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = (x + 4) ², բ) y = (x − 1) ² − 3, գ) y = (x + 6) ²  + 8, դ) y = (x − 4) ²  + 7։
 Ա)

Բ)

Գ)

Դ)

6․ Գտնել հետևյալ պարաբոլի գագաթի կոորդինատները.
ա) y = 2(x − 4) ² , բ) y = x ² + 5, գ) y = (x + 3)² + 1, դ) y = 8(x -11)² - 20։

Ա)

գագաթ՝ (4, 0)

Բ)

գագաթ՝ (0, 5)

Գ)

գագաթ՝ (−3, 1)

Դ)

գագաթ՝ (11, −20)

7․ Պարզե՛ք պարաբոլի ճյուղերի ուղղությունը։ Դրանք հատվո՞ւմ են աբսցիսների առանցքի հետ.
ա) y = (x − 1) ² + 3, բ) y = − 2(x − 5) ² + 6, գ) y = √5(x + 3)² − 7,դ) y = − 7(x − 8) ² − 14, ե) y = 4 x² − 16, զ) y = − 3(x + 4) ² − 15:

Ա)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը չի հատում

Բ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը հատում է

Գ)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը հատում է

Դ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը չի հատում

Ե)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը հատում է

Զ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը չի հատում

Առաջադրանքներ։

1․ Ընտրել y=x² ֆունկցիային և նրա գրաֆիկին վերաբերվող հարցերի ճիշտ պատասխանը՝

 ա) Ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած բացասական արժեք:

բ) Ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ:

գ) Ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած ոչ բացասական արժեք:

2․ Տրված x-երի համար գտնել y-ի այնպիսի արժեք, որ (x, y) կետը լինի y = x² պարաբոլի վրա.

ա) x = 0, y = 0, բ) x = 3, y = 9, գ) x = − 4, y = 16, դ) x = 11, y = 121։

3․ Հայտնի է, որ (x, y) կետը պատկանում է y = x² պարաբոլին։ Գտնել y-ի տրված արժեքի համար
x-ի բոլոր հնարավոր արժեքները։ Քանի՞ այդպիսի x կա.
ա) y = 0, x = 0, բ) y = 25, x = 5, գ) y = 196, x = 14, դ) y = 2.89, x=2.89, ե) y = − 16, x = դատարկ բազմություն

4. Կոորդինատային հարթության վրա պատկերված է y = x² պարաբոլը։ Պարզել տրված կետի
դիրքը պարաբոլի նկատմամբ (գտնվում է պարաբոլից վերև, պատկանում է պարաբոլին, թե
պարաբոլից ներքև է).
ա) (1, 3)֊ վերև, բ) (4, 2) ներքև, գ) ( 2 /3 , 4/9 )պարաբոլի վրեն, դ) ( −3, 11)վերև, ե) (− 2 ,  4 )վրեն, զ) (2.5, 6)վերև, է) (1, 0)ներքև։
5․ Տրված է y = x² ֆունկցիան։ Ո ՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 9, բ) 0, գ) 15, դ) − 25 արժեքը։

Չեմ հասկացել

6․ Կոորդինատային հարթության վրա նշված են A և B կետերն այնպես, որ A-ն առաջին քառորդում
է, B-ն՝ երկրորդ։ Քանի՞ կետում AB հատվածը կհատի y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը։ 2 Կետերում։
7․ Կոորդինատային հարթության վրա նշված են A և B կետերն այնպես, որ A-ն չորրորդ քառորդում
է, B-ն՝ երրորդում։ Քանի՞ կետում AB հատվածը կհատի y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Դիտարկել
բոլոր հնարավոր տարբերակները։

8․ Կոորդինատային հարթության սկզբնակետից տարբեր (a, b) կետը գտնվում է y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա։ (− a, b), (a, − b), (−a, − b) կետերից ո՞րը կգտնվի այդ գրաֆիկի վրա։

Գրաֆիկի վրա գտնվող կետը (-a b)֊ն է։

9․ Առանց կառուցման պարզել, թե արդյո՞ք A (−2;4), B (4;14), C (5;25), D (-8;-64) կետերը պատկանում են  y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկին:

A ֊ պատկանում է

B ֊ն չի պատկանում

C – Չի պատկանում

D – Չի պատկանում

1․ 6-ից մինչև 195 բնական թվերի մեջ 17-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա։

11

2․ 15-ից մինչև 248 բնական թվերի մեջ 14-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա։

16

3․ Գտնել 39-ի պարզ բաժանարարների քանակը։

2

4․ Գտնել 45-ի պարզ բաժանարարների քանակը։

2

5․ Գտնել 24-ի բոլոր բաժանարարների քանակը։

8

6․ Գտնել 75-ի բոլոր բաժանարարների քանակը։

6

7․ Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 5 է, քանորդը ՝ 6, իսկ մնացորդը՝ 4։

34

8․ Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 9 է, քանորդը ՝ 8, իսկ մնացորդը՝ 7։

79

9․ Գտնել 5 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

2

10․ Գտնել 7 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

3

11․ 64-ը բաժանել 3:5 հարաբերությամբ։

24 40

12․ 120-ը բաժանել 1:4 հարաբերությամբ։

24 96

13․ Լուծել հավասարումը․

ա) 2(x-7)=6 x=10

բ) 6(x+2)=-18 x=-5

գ ) 4(x-5)=2(x+2) x=12

դ) 6(x+8)=10(x+9) x=-10.5

14. Որդին 12 տարեկան է։ Վեց տարի առաջ նա 6 անգամ փոքր էր հորից։

ա) Քանի՞ տարեկան է հայրը։ 42  

բ) Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 2 անգամ։ 18

15․ Բադերը և նապաստակները միասին ունեն 16 գլուխ և 44 ոտք։ Որքա՞ն բադ ու նապաստակ կա։

10 բադ 6 նապաստակ

5

Թեմա՝ у = af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։

у = af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում օրդինատների առանցքի երկայնքով: Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:

Եթե a > 1, ապա գրաֆիկը ձգվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից։ Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը:

Նկար 1ա-ում պատկերված է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Կոորդինատային նույն հարթության վրա փորձենք պատկերել y = 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: 3f(x) ֆունկցիայի արժեքն ինչ-որ կետում հաշվելու համար պետք է այդ կետում ֆունկցիայի արժեքը բազմապատկենք 3-ով։ Օրինակ՝ քանի որ f(2) = 4 ուստի 3f(x) ֆունկցիայի արժեքը 2 կետում հավասար է 3f(2) = 3 * 4 = 12։ ֆունկցիայի գրաֆիկը ստանալու համար կարող ենք f(x)-ի գրաֆիկը 3 անգամ ձգել y-ների առանցքի երկայնքով։ Նկար 1բ-ում կապույտով պատկերված է y = 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Նկար 1գ-ում կանաչով պատկերված է 0.4f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը. այս դեպքում ֆունկցիան սեղմվում է։

Ֆունկցիան զրոյից տարբեր a թվով բազմապատկելիս ֆունկցիայի զրոները չեն փոխվում:

Այժմ քննարկենք այն դեպքը, երբ a = — 1 ։ Պետք է կառուցենք y = −f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նկարում պատկերված f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը (կարմիր գրաֆիկը) անցնում է A(2, 3) կետով, այսինքն՝ f(2) = 3։ Ուրեմն — f(x) ֆունկցիան կանցնի B(2, −3) կետով (քանի որ f(2) = — 3) ։ Կոորդինատային հարթության վրա B(2, −3) կետը A(2, 3) կետի համաչափն է x-երի առանցքի նկատմամբ: Նույն կերպով պետք է վարվենք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերի հետ: Այսինքն՝ — f(x)-ի գրաֆիկը f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափն է (շրջած) x-երի առանցքի նկատմամբ (կապույտ գրաֆիկը):

Առաջադրանքներ․

1․ Տրված f(x) ֆունկցիայի զրոները 3-ն ու 8-ն են: Գտե՛ք ա) −10f(x), բ) — 4f(x + 1) գ) -2/3 f(x – 4) ֆունկցիայի զրոները:

ա) −10f(x), x = 3, 8

բ) — 4f(x + 1) x = 2, 7

գ) -2/3 f(x – 4) x = 7, 12

2․ Տրված f(x) ֆունկցիան y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին 1.5 անգամ և իջեցրին 5 միավորով ներքև: Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց:

y=1.5 (x) -5

3․ Տրված է f(x) ֆունկցիան, որի արժեքների տիրույթը [0, 9] միջակայքն է։ Գտե՛ք ա) 4f(x), բ)5/6f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

ա) 4f(x), [0, 36]

բ)5/6f(x) → [0, 7.5]

4․ Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Ա)(0, -3) → (0, -9)

Բ) ( -5, 2) → ( -5, 6)

Գ) (0, 3) → (0, 9)

5․ Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք — f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Թեմա՝ у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով․

у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսների առանցքի ուղղությամբ:

— Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի աջ կամ դեպի ձախ) որոշվում է a թվի նշանով:

— Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի ձախ, իսկ եթե a<0, ապա՝ դեպի աջ: 

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ձախ: Ուրեմն, սա у=(x+3)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երկու միավորով դեպի աջ: Ուրեմն, սա у=(x−2)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Ճիշտ է հետևյալ պնդումը:

1) y=f(x+a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ձախ:  

2) y=f(x−a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի աջ:

Առաջադրանքներ․

1․ y=f(x−166) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժել 166 միավորով դեպի՝ 

վերև

ձախ

աջ

ներքև

2․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե y = 6x¹⁷ ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի ուղղությամբ տեղաշարժել 16 միավորով դեպի ձախ:

y = (x+16)¹⁷

3․ y=1/2(x−198)¹³ + 62 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y = 1/2x¹³ ֆունկցիայի  գրաֆիկը տեղաշարժել 198 միավորով

x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ձախ

x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի աջ

y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վերև

y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ներքև

և  62 միավորով

ա)x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի աջ

բ)y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ներքև

գ)x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ձախ

դ)y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վերև

4․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե  y=10x³ ֆունկցիայի գրաֆիկը Oy առանցքի ուղղությամբ 8 միավորով տեղաշարժվի դեպի վերև:

y = 10x³ + 8

5․ Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գծե՛ք f(x — a) ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա)a = 3
բ)a = 2
գ)a = — 1
դ)a = 3
ե)a = — 2
զ)a = 4
է)a = -3
ը)a = -2

Ա․

Բ․

Գ․

Դ․

Ե․

Զ․

Է․

Ը․

6․ Նկարում պատկերված է f(x — 2) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գծե՛ք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Ա․

Բ․

7․ Գտնել A ∩ B բազմությունը, եթե A = {1; 3; 6; 8}, B = {2; 6; 9}։

6

8․ Գտնել A ∩ B բազմությունը, եթե A = {1; 4; 6; 9}, B = {3; 6; 8}։

6

9․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {0; 2; 4; 6; 8}, B = { 1; 4; 6; 8}։

0, 1, 2, 4, 6, 8

10․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {0; 3; 6; 9}, B = {1; 2; 8}։

0, 1, 2, 3, 6, 8, 9

11․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {7}, B = {5; 6}։

5, 6, 7