Category: Հանրահաշիվ

1․ Լուծել խնդիրը․

10 թիվը ներկայացնել երկու գումարելիների տեսքով այնպես, որ այդ գումարելիների արտադրյալըհավասար լինի 21։ Գտնել գումարելիները։

x*(10-x)=21

10x-x²-21=0

x²-10x+21=0

D=10²-3*21=100-84=16. √16=4

x1=10-4/2=3

x2=10+4/2=7

Պատ. 3;7

2․ Լուծել խնդիրները քառակուսային հավասարումների օգնությամբ։

ա) Երկու հաջորդական բնական թվերի արտադրյալը 110 է։ Գտնել այդ թվերը։

x. x+1

x*(x+1)=110

x²+x=110

x²+x-110=0

D=1²+4*1*110=440

440+1=441

√441=21

x1=-1-21/2=-11

x2=-1+21/2=10

10+1=11

բ) Երկու իրար հաջորդող բնական թվերի արտադրյալը 210 է։ Գտնել այդ թվերը։

x*(x+1)=210

x²+x=210

x²+x-210=0

D=1²-4*1*210=840

840+1=841

√841=29

x1=-1-29/2=-15

x2=-1+29/2=13.5

գ) Բնական թվերից մեկը մեծ է մյուսից 7-ով, իսկ նրանց արտադրյալը հավասար է 44։ Գտնել այդ թվերը։

x(x+7)=44

x²+7x=44

x²+7x−44=0

D=7²-4*-44=49-(-176)=225

√225=15

x=-7+15​/2=8/2​=4

x=-7-15/2=-22/2=-11

4 և 11

դ) Բնական թվերից մեկը փոքր է մյուսից 12-ով, իսկ նրանց արտադրյալը 448 է։ Գտնել այդ թվերը։

x(x-12)=448

x²-12x=448

x²-12x-448=0

D=12²-4*-448=144-(-1792)=√1936=44

x=-12+44/2=32/2=16. 16+12=28

16 և 28

3․ Լուծել խնդիրները․

ա) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը 20 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 218։

x+y=20

x²+y²=218

x²+y²=(x+y)²−2xy

218=20²−2xy. 218=400−2xy

2xy=400−218=182. xy=91

x²−20x+91=0

D=20²-4*91=400-364=36

20+√36. 20+6/2=13.

13և7

բ) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը -2 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 34։

x²+y²=(x+y)²−2xy=(−2)²4−2xy=4−2xy

34=4−2xy. 2xy=4−34=−30⇒xy=−15

x2+2x−15=0

D=2²-4*-15=4-(-60)=√64=8

-2+8/2. x=3. x=-5

1․Պարզել՝ հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտնել նրանց գումարը և արտադրյալը)

ա)a=1 b=1 c=1. D=b²-4ac. D=-1²-4*1*1. D=1-4. D=-3. -3<0

բ) a=1 b=1 c=3. D=b²-4ac. D=1²-4*1*3. D=1-12. D=-11. -11<0

գ)a=1. b=3 c=2. D=3²-4*1*2 D=9-8. D=1. 1>0. x1+x2=(-3)/1=-3 x1*x2=2/1=2

դ)a=1 b=-3 c=2. D=-3²-4*1*2 D=9-8. D=1. 1>0. x1+x2=-(-3)/1=3. x1*x2=2/1=2

ե)a=1 b=-2 c=1. D=-2²-4*1*1. D=4-4. D=0. x=-(-2)/2*1=2/2=1. 1+1=2. 1*1=1

զ)a=1 b=4 c=4. D=4²-4*1*4. D=16-16. D=0. x=-(4)/2*1=-(4)/2=-2. -2+-2=-4. -2*-2=4

2․ Կազմել բերված քառակուսային հավասարում, եթե հայտնի են նրա արմատների L գումարը և K արտադրյալը

ա)x²-(x1+x2)x+x1*x2=0. x²-3x-28=0

բ)x²+3x-18=0

գ)x²+3,5x+2,5=0

դ)x²-5/6x+1/6=0

ե)x²-9=0

զ)x²-4x+4=0

3․ Կազմել բերված տեսքի քառակուսային հավասարում, եթե հայտի են նրա արմատները․

ա)x²-(x1+x2)x+x1*x2=0. 1+5=6. 1*5=5. x²-6x+5=0

բ)-2+3=1. -2*3=-6. x²-1x-6=0

գ)4+6=10. 4*6=24. x²-10x+24=0

դ)-3+-6=-9. -3*-6=18. x²+9x+18=0

ե)0,5+4=4,5. 0,5*4=2. x²-4,5x+2=0

զ)1,2+-5=-3,8. 1,2*-5=-6. x²+3,8x-6=0

է)1+-1=0. 1*-1=-1. x²-1=0

ը)5+5=10. 5*5=25. x²-10x+25=0

4․ Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա)a=1 b=-6 c=8. x1+x2=-(-6)/1=6. x1*x2=8/1=8. 2+4=6. 2*4=8. x1=2 x2=4

բ)a=1 b=5 c=6. x1+x2=-(5)/1=-5. x1*x2=6/1=6. -2+-3=-5. -2*-3=6. x1=-2. x2=-3

գ)a=1. b=-1. c=-2. x1+x2=-(-1)/1=1. x1*x2=-2/1=-2. 2+-1=1. 2*-1=-2. x1=2. x2=-1

դ)a=1 b=1 c=-6. x1+x2=-(1)/1=-1. x1*x2=-6/1=-6. x1​=2. x2​=−3

5․Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա)a=1 b=-2 c=-15. x1+x2=-(-2)/1=2. x1*x2=-15/1=-15. x1​=5. x2​=−3

բ)a=1 b=10 c=9. x1+x2=-(10)/1=-10. x1*x2=9/1=9. x1​=−1. x2​=−9

գ)a=1 b=2 c=−8 x1+x2=-(2)/1=-2. x1*x2=-8/1=-8. x1​=2. x2​=−4

դ)a=1 b=-12 c=35. x1+x2=-(-12)/1=12. x1*x2=35/1=35. x1=5. x2=7

Գիտելիքների ստուգում:

1.

2.

3.

4.

110 թիվը չի կարելի պարզեցնել։

5.

6.

1․ Լուծել հավասարումները․

2x(x+3)=0. 2x=0. x=0 x+3=0. x=0-3. x=-3

D=4²-4*4*1. 16-16. D=0. -(4)+√0/2*4=4/8. 1/2=0.5. X=0.5

3x²=0+12. 3x²=12. 12/3=4. x²=4. x=2

D=-5²-4*1*6. 25-24. D=1. x1=-(-5)+√1/2*1. x2=-(-5)-√1/2*1. x1=5+1/2*1=6/2=3*1=3. x2=5-1/2*1=4/2=2*1=2

D=3²-4*6*1. 9-24=-15. -15<0. լուծում չունի

D=14²-4*5*-3. 196+60=256. x1=-(-14)+√256/2*. x2=-(-14)-√256/2*. x1=-14+16/2*5=-14+16/10=2/10=1/5 x2=-14-16/10=-30/10=-3

2․Լուծել հավասարումները․

x₁ = 0,5, x₂ = 1,5
x₁ = -1/3, x₂ = 5/3
x₁ = 1/2, x₂ = 3
x₁ = -1, x₂ = 3/4
x₁ = 4.5, x₂ = 0.5
x₁ = 0.187, x₂ = 1.187
x₁ = 1/2 + √3/2 i, x₂ = 1/2 — √3/2
x₁ = -3/2 + 3√3/2 i, x₂ = -3/2 — 3√3/2

3․ Լուծել հավասարումները․

D=5²-4*2*3=25-24=1. x1=-(-5)+√1/2*2=5+1/4=6/4=3/2. x2=-(-5)-√1/2*2=5-1/4=4/4=1

D=6²-4*1*9=36-36=0. x1=-(-6)+√0/2*1=6+0/2=6/2=3/1=3

D=3²-4*1*-4. 9-(-16)=25. x1=-(-3)+√25/2*1=3+5/2*1=8/2=4/1. x2=-(-3)-√25/2*1=3-5/2*1=-2/2=-1

D=7²-4*5*3=49-60=-11. լուծում չունի

D=8²-4*0.5*-18=64-(-36)=100. x1=-(-8)+√100/2*0.5=8+10/1=18/1=18. x2=-(-8)-√100/2*0.5=8-10/1=-2/1=-2

4․ Լուծել հավասարումները․

x₁ = 3/2, x₂ = 3
x₁ = -3, x₂ = -2/3
x₁ = -4/3, x₂ = 1
x₁ = -5/2, x₂ = 2

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c=0  քառակուսային  հավասարման  տարբերիչ  կամ՝  դիսկրիմինանտ:

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա)3x²+4x+5=0

բ)3x²+(-2x)+6=0

գ)1x²+(-1)+2=0

դ)-1x²+3x+(-2)=0

5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․

ա)D=3²+4*2*5=9+40=49

բ)D=5²+4*1*1=25+4=29

գ)D=6²+4*9*1=36+36=72

դ)D=1²+4*1*1=1+4=5

6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․

ա)այո

բ)ոչ

գ)ոչ

դ)ոչ

ե)այո

զ)ոչ

Լուծել հավասարումները․

ա)3x²-3=0 3x²=3. x²=1. x=1

բ)x²=0. x=0

գ)x=0. x=1

դ)x=0. x+3=0. x=0-3. x=-3

ե)x-3=0. x=0+3. x=3. x+2=0. x=0-2. x=-2

զ)x+5=0 x=0-5. x=-5. x-7=0 x=0+7. x=7

է)3x=0. x=0. x-0.5=0. x=0+0.5. x=0.5

ը)0.5x=0. x=0. 2+x=0 x=0-2. x=-2

թ)x-8=0 x=0+8. x=8. 5+x=0. x=0-5. x=-5

ժ)x+1=0. x=0-1 x=-1. x-4=0. x=0+4. x=4

7․ Լուծել հավասարումները․

ա)x(x-4). x=0. x-4=0. x=0+4 x=4

բ)x(x+6) x=0. x+6=0. x=0-6. x=-6

գ)x(3x+1)=0. x=0. 3x+1=0. x=0-1-3. x=-4

դ)x(x-0.5) x=0. x-0.5=0. x=0+0.5. x=0.5

ե)x(3x+2)=0 x=0. 3x+2=0. x+2=0 x=0-2. x=-2

զ)-x=0. x=0

է)7x²-5x=0. x(7x-5)=0. x=0. 7x-5=0. x-5=0. x=0+5. x=5

ը)3x-11x²=0. x(11x-3)=0. x=0. 11x-3=x. x-3=0. x=0+3. x=3

թ)x(1/2x-3)=0. x=0. 1/2x-3=0. 1/2x=0+3. 1/2x=3. x=6

8․ Լուծել հավասարումները․

ա)x²-3=0. x²=0+3. x²=3 x=√3

բ)x²-5=0. x²=0+5. x²=5. x=√5

գ)1/3x²-1=0. 1/3x²=0+1. 1.3x²=1. x²=3. x=√3

դ)1/5x²-10=0. 1/5x²=0+10. 1/5x²=10. x²=50. x=√50

ե)4x²-3=0. 4x²=0+3. 4x²=3. x²=4/3. x=√4/3

զ)5x²+2=0. 5x²=0-2. 5x²=-2. x²=-2/5. x-=√-2/5

է)x²=2304. x=48

ը)x²-31,36=0. x²=0+31,36. x²=31,36. x=√31,36

թ)0,001x²=40. x²=40/0,001. x²=40000. x=200

1.Ո՞ր բազմանդամն են անվանում քառակուսային եռանդամ։

ax²+bx+c տեսքի բազմանդամը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային եռանդամ:

2․ Ինչի՞ է հավասար քառակուսային եռանդամի տարբերիչը։

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c քառակուսային եռանդամի  տարբերիչ կամ՝ դիսկրիմինանտ:

3․ Հետևյալ արտահայտություններից ո՞րն է հանդիսանում քառակուսային եռանդամ: Ընտրիր ճիշտ պատասխանի տարբերակը:

ա) 14x²−3x−1

բ) 4x−5

գ) x+5/2x−3

4․ Արդյո՞ք բազմանդամը քառակուսային եռանդամ է․

ա)ոչ

բ)ոչ

գ)ոչ

դ)ոչ

5․ a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում է բազմանդամը քառակուսային եռանդամ․

ա)լուծում չունի

բ)

գ)լուծում չունի

դ)

6․ Նշել քառակուսային եռանդամի ավագ, միջին և ազատ անդամները։

ա) ավագ=x² միջին=3x ազատ=1

բ)ավագ=x² ազատ=1

գ)ավագ=x² միջին=x ազատ=2

դ)ավագ=2x² միջին=3x

ե)ավագ=x² միջին=x ազատ=3

զ)ավագ=x² միջին =-x

է)ավագ=2x² միջին=x ազատ=4

ը)ավագ=-x² ազատ=10

7․ Կազմել քառակուսային եռանդամ տված գործակիցներով։

ա)3x²+4x+5

բ)3x²+(-2x)+6

գ)1x²+(-1x)+2

դ)-1x²+3x+-2

8․ Գրել քառակուսային եռանդամի a, b և c գործակիցները․

ա)a=6x². b=x. c=2

բ)a=x² b=x. c=7

գ)a=-5x². b=3x. c=1

դ)a=-x² b=x c=1

9․ Առանձնացնել լրիվ քառակուսին․

10․ Հաշվել քառակուսային եռանդամի տարբերիչը․

ա)D=5²-4*2*3=25-24=1

բ)D=5²-4*2*3=25-24=1

գ)D=5²-4*2*3=25-24=1

դ)D=5²-4*2*3=25-24=1

ե)D=4²-4*1*5=16-20=-4

զ)D=6²-4*1*9=36-36=0

է)D=2²-4*1*1=4-4=0

ե)D=5²-4*(-3)*2=25-(-24)=49

թ)D=2²-4*1*2=4-8=-4

1․Լուծել անհավասարումները;

1. x>4. xE(4;+∞)

2. x≤9. xE{0;9)

3. x<4. xE{0;4)

4. √x>-3 xE{0;+∞)

5. x=0

6. x>72. xE(72;+∞)

7. √x>-10 xE{0;+∞)

8. x≤16. xE{0;16)

9. x<49 xE{0;49)

10. √x≥-2 xE{0;+∞)

11. x>81. xE(81;+∞)

12. x+2>9 x>9-2. x>7. xE(7;+∞)

13. 2x-4>4. 2x>4+4. 2x>8. x>4. xE(4;+∞)

14. 3x-6<1. 3x<1+6. 3x<7. x<7/3. xE{0;7/3)

15. 2x-4<9 2x<9+4. 2x<13. x<6.5 xE(0;6.5)

16. 3x-9≤0. 3x≤0+9. 3x≤9. x≤3. xE(0;3)

17. 2x-2<0 2x<0+2. 2x<2. x<1. xE{0;1)

19. 2x-8≥0. 2x≥0+8 2x≥8. x≥4 xE{4;+∞)

20. 2x+6>2. 2x>2-6. 2x>-4. x<-2. լուծում չունի

21. 7x-7<4. 7x<4+7. 7x<11. x<11/7. xE{0;11/7)

22. 6x-4>3 6x>3+4 6x>7. x>7/6 xE(7/6;+∞)

23. 2x-4<-4. 2x<-4+4. 2x<0. x<0 լուծում չունի

24. 7x-7<-7. 7x<-7+7. 7x<0 x<0 լուծում չունի

25. 2x-6>5. 2x>5+6. 2x>11. x>5.5. xE(5.5;+∞)

26. 4x-16≤4. 4x≤4+16. 4x≤20. x≤5. xE(0;5)

27. x-9≤0 x≤0+9. x≤9. xE(0;9)

28. 5x-10>-3 5x>-3+10. 5x>7 x>7/5. xE(7/5;+∞)

29. 3x-4<x+2. 3x-x<2+4 2x<6. x<3 xE(0;3)

30.2x-4>x+4. 2x-x>4+4. 2x>8. x>4 xE(4;+∞)

31. 3x+3<x-2. 3x-x<-2+3. 2x<1. x<0.5 xE(0;0.5)

32. 4x-2≥2x+6. 4x-6x≥6+2. -2x≥8. x≥0.25. xE(0.25;+∞)

33. 3x-4≤x+1. 3x-x≤1+4. 2x≤5 x≤2.5 xE(0;2.5)

34. 2x-4>6-x. 2x+x>6+4. 3x>10. x>10/3. xE(10/3;+∞)

2․ Լուծել անհավասարումները։

1.2x+6*x-3<0. 2x+6x-3<0. 2x+6x<0+3. 8x<3. x<3/8 xE{0;3/8)

2.x+3*x-4≤0. x+3x-4≤0. x+3x≤0+4. 4x≤4. x≤1. xE{0;1)

3.3x-6*2x+1≤0. 3x-12x+1≤0. 3x-12x≤0-1. -9x≤-1. լուծում չունի

4.5x+10*3x-4≤0. 5x+30x-4≤0. 5x+30x≤0+4. 35x≤4. x≤8.75. xE(0;8.75)

1․Ո՞ր հավասարումներն են կոչվում իռացիոնալ։

Եթե հավասարման անհայտը գտնվում է քառակուսի արմատի նշանի տակ, ապա այդպիսի հավասարումը անվանում են իռացիոնալ

2․ Ինչպե՞ս են լուծում պարզագույն իռացիոնալ հավասարումները։

Քառակուսի բարձրացնելը իռացիոնալ հավասարումների լուծման հիմնական եղանակն է:

3․ Լուծել հավասարումները։

ա)x=9

բ)x=0

գ)լուծում չունի

դ)2x-1. x=1/2

ե)4x-1=1. 4x=1+1. 4x=2. x=2

զ)x+2=1. x=1-2. x=-1

է)3x-8=6. 3x-8=36. 3x=36+8=44. x=44/3

ը)1+5x=49. 5x=49-1. 5x=48. x=48/5

թ)x-3-2=0. x=0+3+2. x=5

4․ Լուծել հավասարումները։

ա)3x-1=0. 3x=0+1. 3x=1. x=1/3

բ)4x+5=4. 4x=4-5. 4x=-1 x=-1/4

գ)7-3x=1. -3x=1-7. -3x=-6. x=2

դ)-x-1=9. -x=9+1=10. x=10

ե)-4+5x=4. 5x=4+4. 5x=8 x=8/5

զ)-x=1/4. x=-1/4

5․ Լուծել հավասարումները․

1.x=4

2.x=9

3.x=25

4.լուծում չունի

5.x=0

6.x=81

7.√x=8. x=8²=64

8.լուծում չունի

9.√x=5. x=25

10.√x=0. x=0

11. լուծում չունի

12. x-2=4. x=4+2. x=6

13.x-4=16 x=16+4. x=20

14.x+3=9. x=9-3. x=6

15.x-6=0. x=0+6. x=6

16.x-8=9. x=9+8. x=17

17.x-8=1. x=1+8. x=9

18.2x-5=4 2x=4+5. 2x=9. x=4.5

19.2x-4=16 2x=16+4. 2x=20. x=10

20.4x-4=0. 4x=0+4. 4x=4. x=1

21.5x-5=4 5x=4+5=9 x=9/5

22.3x-1=9. 3x=9+1. 3x=10. 10/3

23.6x-4=4. 6x=4+4. 6x=8. x=8/6

24.2x-4=x+2. 2x-x=2+4. x=6

25.6x+6=2x-4. 6x-2x=-4-6. 4x=-10. x=-5/2

26.5x+3=3x-4. 5x-3x=-4-3. 2x=-7. x=-7/2

27.4x-4=2x+10 4x-2x=10+4. 2x=14. x=7

28. 2x+6=x+2. 2x-x=2-6. x=-4

29.2x-8=x+2. 2x-x=2+8. x=10

30.6x-6=4x-8. 6x-4x=-8+6. 2x=-2. x=-1

31.3x+2=5-x. 3x+x=5-2. 4x=3. x=3/4

1․ Պարզեցնել արտահայտությունը․

ա)5√2

բ)√2

գ)-4√a

դ)(a-3)√x

ե)√a

զ)-√2

2․ Համեմատել արտահայտությունների արժեքները առանց արմատը հաշվելու։

ա) >
բ) >
գ) <
դ) <
ե) <
զ) <

3․ Պարզեցնել արտահայտությունը․

ա) √3-1
բ) 5-√5
գ) √3-√2
դ) 4-√10

4․ Հայտարարում ազատվել արմատանշանից։

ա) √2+1
բ) √3+1
գ) 3-√5/2
դ) 2+√3
ե) √3-√2
զ) 4-√15

5․ Կրճատել կոտորակը․

ա) 2/2+√2
բ) 1-√3/2
գ) 1+√x

6․ Արտադրիչը տանել արմատանշանի տակ․

ա) 1/2√2
բ) — 1/3√2
գ) 1/4√5
դ) -1/10√5
ե) a√4=2a
զ) mn√5
է) 2x√6
ը) 3pq√2
թ) x²√3;
ժ) 7a³
ի)2m²n
լ) 5c²d³√2

1․ Ընտրիր ճիշտ հատկությունները:

√a+√b=√a+b

√a²=a, a≥0

√a: √b=√a:b

√a⋅a =a, a≥0

√a⋅a=a²

2․ Հաշվել․

ա)6

բ)12

գ)20

դ)35

ե)90

զ)560

3․ Հաշվել․

ա)20

բ)18

գ)30

դ)48

ե)220

զ)105

է)210

ը)630

թ)154

4․ Հաշվել․

ա)1

բ)3

գ)x

դ)3

5․ Հաշվել․

ա)8

բ)15

գ)30

դ)70

ե)20

զ)900

է)800

ը)5000

6․ Հաշվել․

ա)4

բ)3,1

գ)1

դ)5

ե)1,13

զ)7,2

է)0,3

ը)57,1

7․ Արտադրիչը դուրս բերել արմատանշանի տակից․

ա)√2/3

բ)√3/4

գ)√40/9

դ)√72/5

ե)√25/1

զ)√5/2

է) √x³/3

ը)√7a/4b

թ) n√3m³/2ab

ժ)√5xy³/mn⁷

ի)√0,1x/y10

լ)m√5m/0,5n

8․ Արտադրիչը դուրս բերել արմատանշանի տակից․

ա)3.464

բ)4.242

գ)4.472

դ)4.898

ե)5.196

զ)5.291

է)5.656

ը)6.708

թ)7.071

ժ)8.485