Առաջին ուսումնական շրջանի ամփոփում։

1․ Գտնել AB հատվածի M միջնակետի կոորդինատները, եթե ա) A(4;-5), B(-6;3) բ) A(8;9), B(-6;6) 

ա) (-1,-1)

բ) (1,7.5)

2․ Գտնել A և B կետերի հեռավորությունը, եթե ա) A(9;2) և B(6;6);  բ) M(5;5) և N(1;8)

ա) 5

բ) 5

3․  Գրել A(4; — 5) կենտրոնով և R = 8 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

(x−4)²+(y+5)²=64

4․ Վեկտորը տրված է իր կոորդինատներով՝ a→{6; 8}։ Հաշվել նրա մոդուլը՝ ∣a→∣

10

5․ Գտնել a+b, a-b, 3a, 4b վեկտորnի կոորդինատները, եթե a{4,6}, b{5,8}, a{8,4}, b{6,8}

a+b = {9,14}

a-b = {-1,-2}

3a = {12,18}

4b = {20,32}

6. ABC և MNK եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k =4 : Գտեք MNK եռանկյան կողմերը, եթե ABC եռանկյան կողմերը 15 դմ, 9 դմ և 19 դմ են:

{60,36,76}

7. Նման են, արդյոք, ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե` AB = 3 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ, A₁B₁ = 4,5 սմ, B₁C₁ = 7,5 սմ, C₁A₁ = 10,5 սմ

Այո

8. CD-ն ABC եռանկյան կիսորդն է: Գտնել այդ եռանկյան BC կողմը, եթե BD = 20 սմ, AD = 15 սմ, AC = 21 սմ:

≈ 35 սմ

9. Շրջանագծի երկու լարեր հատվում են: Մի լարի հատվածները հավասար են 25 սմ և 18 սմ, իսկ մյուս լարի հատվածներից մեկը` 15 սմ: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:

45 սմ

10. Դիցուք՝ AB-ն շոշափող է, AD-ն՝ նույն շրջանագծի հատող, որի արտաքին մասը AC-ն է։ Որոշել
CD-ն, եթե AB = 8 սմ և AD = 16 սմ:

4 սմ

1․ Կարո՞ղ է 0≤α≤180 անկյան սինուսը լինել

ա) դրական, կարող է

բ) բացասական, չի կարող

գ) զրո կարող է

2․ Կարո՞ղ է 0≤α≤180 անկյան կոսինուսը լինել

ա) դրական, կարող է

բ) բացասական, կարող է

գ) զրո կարող է

3․ Որոշել արտահայտության նշանը․

ա) sin 56⁰ ∙ cos 114⁰ ∙ cos 65⁰<0

բ) sin 20⁰ ∙ cos 140⁰ ∙ cos 77⁰ <0

գ) sin 5⁰ ∙ cos 128⁰ ∙ cos 165⁰ >0

դ) sin 39⁰ ∙ cos 83⁰ ∙ sin 120⁰ >0

4. Պարզեցնել արտահայտությունը․

ա) cos (90⁰-α) = sin a

բ) sin (180⁰-α) = sin a

գ) sin (90⁰+α) = con a

դ) cos (180⁰+α) = cos a

5. Օգտվելով բերման բանաձևերից, գտնել

sin 150⁰-ը, 1/2

cos 150⁰-ը, −√3/2

tg 150⁰-ը, −1/√3

ctg 150⁰-ը:−√3

6. Օգտվելով բերման բանաձևերից, գտնել

sin 135⁰-ը, √2 / 2

cos 135⁰-ը, −√2 / 2

tg 135⁰-ը, −1

ctg 135⁰-ը:−1

7. Օգտվելով բերման բանաձևերից, գտնել

sin 120⁰-ը, √3 / 2

cos 120⁰-ը, −1 / 2

tg 120⁰-ը, −√3

ctg 120⁰-ը: −1 / √3

1․ Մի կետից շրջանագծին տարված են հատող և շոշափող: Որոշել շոշափողի երկարությունը, եթե հատողի արտաքին և ներքին մասերի երկարությունները համապատասխանաբար հավասար են՝

ա) 4 սմ և 5 սմ, 6սմ

բ) 2,25 դմ և 1,75 դմ, 3 դմ

գ) 1 մ և 2 մ։ √3 մ

2. Շոշափողը 20 սմ է, իսկ նույն կետից տարված և շրջանագծի կենտրոնով անցնող հատողը` 50 սմ։ Գտեք շրջանագծի շառավիղը։

21 սմ

3․ Դիցուք՝ AB-ն շոշափող է, AD-ն՝ նույն շրջանագծի հատող, որի արտաքին մասը AC-ն է։ Որոշել
ա) CD-ն, եթե AB = 2 սմ և AD = 4 սմ 3սմ
բ) AD-ն, եթե AC : CD = 4/5 և AB = 12 սմ 18 սմ

4․ Մի կետից շրջանագծին տարված շոշափողն ու հատողը համապատասխանաբար հավասար են 20 սմ և 40 սմ, իսկ հատողի հեռավորությունը շրջանագծի կենտրոնից՝ 8 սմ։ Գտնել շրջանագծի շառավիղը։

17 սմ

5․ Մի կետից նույն շրջանագծին տարված են երկու հատող՝ որոնց երկարություններն են 15 սմ և 25 սմ։ Գտեք նրանց արտաքին մասերը, եթե հայտնի է, որ դրանցից մեկը 2 սմ–ով մեծ է մյուսից։

1. Շրջանագծի որևէ կետից տրամագծին իջեցված է ուղղահայաց։ Գտնել նրա երկարությունը, եթե տրամագծի հատվածները հավասար են՝

ա) 12 սմ և 3 սմ, 6սմ

բ) 16 սմ և 9 սմ, 12սմ

գ) 2 մ և 5 դմ։ 1մ

2. Շրջանագծի երկու լարեր հատվում են: Մի լարի հատվածները հավասար են 24 սմ և 14 սմ, իսկ մյուս լարի հատվածներից մեկը` 28 սմ: Գտնել երկրորդ լարի երկարությունը:

40 սմ

3. Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 48 մ և 3 մ հատվածների, իսկ մյուսը` կիսվում է։ Որոշել երկրորդ լարի երկարությունը։

24 մ

4. Երկու իրար հատող լարերից մեկը տրոհված է 12 մ և 18 մ հատվածների, իսկ երկրորդը` 3 : 8 հարաբերությամբ։ Որոշել երկրորդ լարի երկարությունը։

33մ

5. Իրար հատող երկու լարերից առաջինը 32 սմ է, իսկ երկրորդ լարի հատվածներն են 12 սմ և 16 սմ: Որոշել առաջին լարի հատվածները։

Առաջին լարի հատվածները 8 սմ և 24 սմ են։

6. AB և CD հատվածները հատվում են M կետում այնպես, որ MA = 7 սմ, MB = 21 սմ, MC = 3 սմ և MD = 16 սմ: A, B, C և D կետերը գտնվու՞մ են, արդյոք, միևնույն շրջանագծի վրա։

Ոչ չեն գտնվում նույն գծի վրա։

1․ Քառակուսիներից մեկի անկյունագիծը 4 անգամ մեծ է մյուսի անկյունագծից։ Գտնել երկրորդ քառակուսու կողմը, եթե առաջին քառակուսու պարագիծը 100 սմ ՝ ։

6.25 սմ

2․ 60 սմ պարագծով ABCD ուղղանկյունը նման է A₁B₁C₁D₁ ուղղանկյանը, որի կից կողմերի երկարություններն են 4 սմ և 8 սմ։ Գտնել ուղղանկյան կողմերը:

10 սմ և 20 սմ

3․ A անկյան կողմերը հատվում են BC և DE զուգահեռ ուղիղներով, ընդ որում ՝ B և D կետերը գտնվում են անկյան կողմերից մեկի, իսկ C և E կետերը ՝ մյուսի վրա։ Գտնել

ա) AC-ն, եթե CE=10 սմ, AD= 22 սմ, BD=8 սմ, 3.64 սմ

բ) BD-ն և DE-ն, եթե AB=10 սմ, AC= 8 սմ,BC=4 սմ, CE=4 սմ: BD = 5 սմ,
DE = 7.5 սմ.

4․ ABCD սեղանի AB և CD սրունքները շարունակված են մինչև M կետը հատվելը։ Գտնել CM հատվածը, եթե AB=1 մ, CD=15 դմ, BM= 8 դմ։

CM = 12 դմ

5․ Սեղանի հիմքերն են 1,8 մ և 1,2 մ, իսկ սրունքներն, որոնց երկարություններն են 1,5 մ և 1,2 մ, շարունակված են մինչև հատվելը։ Գտնել, թե որքան է շարունակված սրունքներից յուրաքանչյուրը։

0.75 մ

0.6 մ

1․ O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտնել AO հատվածի երկարությունը, եթե AK միջնագիծը 18 դմ է:

AO=12դմ

2. O-ն ABC եռանկյան միջնագծերի հատման կետն է: Գտնել AK միջնագծի երկարությունը, եթե OK-ն 5 սմ է:

AK=15սմ

3․ Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտնել AB ներքնաձիգը, եթե AC = 6 սմ, AH = 3 սմ:

AB=12սմ

4․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունը այն բաժանում է 4 սմ և 5 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտնել եռանկյան էջերը:

AC=6սմ

5․ Տարված է C ուղիղ անկյունով ABC եռանկյան CH բարձրությունը: Գտնել AB ներքնաձիգը, եթե AH:HB=4:5, AC = 6 դմ:

AB=9դմ

6․ Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգին տարված բարձրությունն այն բաժանում է 9 սմ և 16 սմ երկարությամբ հատվածների: Գտնել այդ եռանկյան պարագիծը:

P=60սմ

1. ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ k = 4: Գտնել ABC եռանկյան պարագիծը, եթե A₁B₁C₁ եռանկյան պարագիծը 34 դմ է:

ABC=136դմ

2․ Նման եռանկյուններից մեկի պարագիծը 35 սմ է, մյուսինը՝ 7 սմ: Գտնել այդ եռանկյունների նմանության գործակիցը:

k=5

3․ Նման եռանկյուններից մեկի կողմը 24 սմ է, մյուս եռանկյան դրան նմանակ կողմը 8 սմ է: Գտնել երկրորդ եռանկյան պարագիծը, եթե առաջինի պարագիծը 150 սմ է։

Պարագիծը հավասար է 50 սմ

4․ Նման եռանկյուններից մեկի կողմերը 6 անգամ փոքր են մյուսի կողմերից: Գտնել դրանց պարագծերի հարաբերությունը:

1:6

5․ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BM-ը և B₁M₁-ը այդ եռանկյունների միջնագծերն են: Գտնել B₁M₁-ը, եթե AB = 12 սմ, A₁B₁ = 4 սմ, BM = 9 սմ։

B₁M₁=3սմ

6․ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: AK-ն և A₁K₁-ը այդ եռանկյունների կիսորդներն են: Գտնել BC-ն, եթե AK = 8 սմ, A₁K₁ = 2 սմ, B₁C₁ = 10 սմ:

BC=40 սմ

7․ ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁: BH-ը և B₁H₁-ը այդ եռանկյունների բարձրություններն են: Գտնել AC-ն, եթե BH =15 սմ, B₁H₁ = 6 սմ, A₁C₁ = 8 սմ։

AC=20սմ

1․ Ապացուցել, որ նկարում պատկերված եռանկյունները նման են։

AB/DE=4.5/3. BC/EF=6/4 AC/DF=9/6

4.5*4=18 3*6=18

6*6=36 4*9=36

2․ ABCD զուգահեռագծի CD կողմի վրա նշված է E կետը: AE և BC ուղիղները հատվում են F կետում։ Գտնել

ա) EF–ը և FC-ն, եթե DE = 8 uմ, EC = 4 սմ, BC = 7 սմ, AE = 10 սմ,

բ) DE–ն և EC-ն, եթե AB = 8 սմ, AD = 5 սմ, CF = 2 սմ:

3․ O գագաթով անկյան կողմերից մեկի վրա վերցված են A և B, իսկ մյուսի վրա C և D կետերը այնպես, որ AO = 4 սմ, BO= 7սմ, OC =12 սմ, OD = 21սմ: Նման են OAC և OBD եռանկյունները:

Այո նման են

4․ AB և CD հիմքերով ABCD սեղանի անկյունագծերը հատվում են O կետում։ Գտեք`
ա) AB–ն, եթե OB = 4սմ, OD = 10 սմ, DC = 25 սմ, AB=10սմ
բ) (AO)/(OC)-ն և (BO)/(OD) -ն եթե AB = a, DC = b AO/OC=a/b. BO/OD=a/b
գ) AO-ն, եթե AB = 9,6 դմ, DC = 24 սմ, AC = 15 սմ:4 AO=12սմ

5․ Նման են, արդյոք, երկու ուղղանկյուն եռանկյունները, եթե դրանցից մեկն ունի 40°–ի անկյուն, իսկ մյուսը`

ա) 50°–ին հավասար անկյուն, Այո նման են

բ) 60°–ին հավասար անկյուն։ Ոչ նման չեն

6․ Նման են, արդյոք, ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե`
ա) AB = 3 սմ, BC = 5 սմ, CA = 7 սմ, A₁B₁ = 4,5 սմ, B₁C₁ = 7,5 սմ, C₁A₁ = 10,5 սմ Նման են
բ) AB = 1,7 սմ, BC = 3 սմ, CA = 4,2 սմ, A₁B₁ = 34 դմ, B₁C₁ = 60 դմ, C₁A₁ = 84 դմ: Նման են

Թեմա՝ Նման եռանկյունների սահմանումը։

Երկու եռանկյուններ կոչվում են նման, եթե նրանց անկյունները համապատասխանաբար հավասար են, և եռանկյուններից մեկի կողմերը համեմատական են մյուսի համապատասխան կողմերին: AB-ն ու A₁B₁-ը, BC-ն ու B₁C₁-ը, AC-ն ու A₁C₁-ը կոչվում են նմանակ կողմեր:

Ուրեմն ABC և A₁B₁C եռանկյունները կոչվում են նման, եթե տեղի ունեն հետևյալ պայմանները.
∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁,

Տրված են ABC և DEF եռանկյունները:

Եթե տրված է, որ AB/DE=BC/EF=AC/DF=k և ∠A=∠D; ∠B=∠E; ∠C=∠F, ապա կարելի է եզրակացնել, որ եռանկյունները նման են:

Այս հանգամանքը գրում ենք այսպես՝ ΔABC∼ΔDEF

Եռանկյունների նմանությունը գրելիս կարևոր է եռանկյունների տառերը գրել ճիշտ հերթականությամբ:

Հավասար անկյուններին համապատասխանում են որոշակի տառեր:

k թիվը, որը հավասար է նման եռանկյունների համապատասխան կողմերի հարաբերությանը, կոչվում է եռանկյունների նմանության գործակից: 

Առաջադրանքներ։

1․ Նմա՞ն են ABC և A₁B₁C₁ եռանկյունները, եթե ∠A = A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C=∠C₁, AB = 12 սմ, BC = 8 սմ, AC = 18 սմ, A₁B₁= 6 սմ, B₁C₁ = 4 սմ, A₁C₁ = 9 սմ:

Այո հարաբերություններն՝ 12/6=8/4=18/9=2 Նմանության գործակիցը՝ k=2․

2. ABC և KMN եռանկյունները նման են, ընդ որում՝ AB/MN = BC/NK = AC/MK: ABC և KMN եռանկյունների ո՞ր անկյուններն են համապատասխանաբար հավասար:

Ըստ համապատասխան կողմերի՝ A↔M,  B↔N,  C↔K Դրանով՝ ∠A=∠M,  ∠B=∠N,  ∠C=∠K

3. DC և MN հատվածները երկու նման եռանկյունների կողմերն են, ընդ որում՝ եռանկյուններում դրանց դիմաց ընկած են հավասար անկյուններ:  Գտնել  MN հատվածի երկարությունը, եթե DC=19մ և DC/MN=4/13

Դրված է DC=19 մ և DC/MN=4/13 Ուստի MN=19⋅13/4=247/4=61.75 մ.

4․ ABC և LNM եռանկյունները նման են k=9 նմանության գործակցով: BC և NM հատվածներն այդ եռանկյունների կողմերն են, որոնց դիմաց՝ եռանկյուններում գտնվում են հավասար անկյուններ: Գտնել BC կողմի երկարությունը, եթե NM=10մմ:

k=9 և BC համապատասխանում է NM-ին, NM=10 մմ, ապա BC=9⋅10=90 մմ.

5․ BCA և MKL եռանկյունները նման են, ընդ որում BC, MK և CA, KL կողմերը զույգ առ զույգ համեմատական են: Հաշվել  MK կողմի երկարությունը, եթե BC=2սմ, CA=18սմ և KL=54սմ:

Տրված է՝ եռանկյունները նման են, BC=2 սմ, CA=18 սմ, KL=54 սմ։
Քանի որ CAև KL կողմերը համապատասխան են, ապա BC/MK=CA/KL⇒MK=BC⋅KL/CA=2⋅54/18=6 սմ.

Պատասխան՝ MK=6

1․ Տրված են a և b վեկտորները: Կառուցել հետևյալ վեկտորները.

ա) 2a
բ) — 2a
գ) 1/3a
դ) 3b
ե)-1/2b
զ) -4b

2․ Պարզեցրնել արտահայտությունները.
ա) 3(a + b) — 2(a — b ). a+5b
բ) 4a + 5b — 2(a + 2b ) 2a + b
գ) 1/3(a + b) + 2/3(a — b) a – 1/3 b

3․ Համուղղված են, թե՞ հակուղղված a և b ոչ զրոյական վեկտորները, եթե.
ա) b = 2a Համուղղված
բ) b = -3a Հակուղղված
գ) a = 1/3b Համուղղված
դ) a = -1/2bՀակուղղված

4․ Գտնել b վեկտորի մոդուլը, եթե |a| = 6 սմ.
ա) b = 4a =24սմ
բ) b = -3a = 18սմ
գ)b = 1/3a = 2սմ

5․ O-ն ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք k-ն, եթե DA + DC = k · DO: k = 2
6․ O-ն ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերի հատման կետն է: Գտե՛ք k-ն, եթե AB + AD = k · CO։ k = 2