1․ Տրված է KLMN քառանկյունը: MN→ վեկտորն արտահայտիր KL→=x→, LM→=y→, KN→=z→ վեկտորների միջոցով

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

• z→−x→+y→
• −z→−x→−y→
• x→+z→+y→
• x→+y→−z→

Չորորդ տարբերակը

2․ 60° սուր անկյունով ABCD շեղանկյան կողմերի վրա տեղադրված են BA→ և BC→ վեկտորները, որոնց երկարությունները հավասար են 17 սմ: Որոշիր BA→− BC→ տարբերության մոդուլը։

BA – BC = CA. CA=17 սմ

3․ ABC հավասարակողմ եռանկյան կողմը a է։ Գտնել

ա)| AB+BC |=a

բ)| AB|+|AC | =a+a=2a

գ) | BA-BC| = a

դ)| AB-AC |= a

4․ ABC եռանկյան մեջ AB=6, BC=8, <B=90: Գտնել

ա) | BA | — | BC |=8-6=2 և | BA-BC|=10

բ) |AB|+|BC| և |AB+BC|

գ) |BA|+|BC| և |BA+BC|

5․  Օգտվելով բազմանկյան կանոնից ՝ պարզեցրեք արտահայտությունը.

ա) (AB+BC-MC)+(MD-KD)=AK

բ) (CB+AC+BD)-(MK+KD):AM

1․ Տրված է ABCD քառակուսին, O-ն նրա անկյունագծերի հատման կետն է, a→=OC→,b→=OD→

Ո՞րն է վեկտորների a→−b→ տարբերությունը:

a→-b→=oc-od=dc. a→-b→=dc

2․Այս նկարներից որո՞մ է ներկայացված վեկտորների g→−h→ տարբերությունը:

3․ Տրված է TUVZ սեղանը: Ո՞ր վեկտորն է հավասար հետևյալ վեկտորների տարբերությանը՝ ZV→−ZU→:

UV→

4․ Տրված է հետևյալ եռանկյունը: Կատարիր AC−→−−AB−→− հանումը:

BC→

5․ Գտիր հետևյալ վեկտորների գումարը՝ բազմանկյան կանոնով (փորձիր լուծել առանց կառուցման):

SG→−PG→−LU→−UP→

SG+PG=PS

LU+UP=PL

PS+PL=LS

Առաջադրանքներ։

1․ Տրված են i→ և h→ վեկտորները: Նկարներից որո՞ւմ է ցուցադրված i→ և h→ վեկտորների գումարը եռանկյան կանոնով:

Չորորդում

2․ Թվարկված նկարում պատկերված է g→=i→+h→ հավասարությունը: Ո՞ր կանոնով է կատարված վեկտորների գումարումը։ 

Վեկտորների գումարումը կատարված է եռանկյան կանոնով

3․Տրված են g→ և h→ վեկտորները: Հետևյալ նկարներից որո՞մ է պատկերված  g→ և h→  վեկտորների գումարը զուգահեռագծի եղանակով:

Առաջինում

4․ Տրված է հետևյալ սեղանը: Կատարիր BA→+AD→ գումարումը:

Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

CD

Առաջադրանքներ։

1․ Վեկտորը տրված է իր կոորդինատներով՝ a→{60; 80}։ Հաշվել նրա մոդուլը՝ ∣a→∣

|a→| = √(60² + 80²)
|a→| = √(3600 + 6400)
|a→| = √10000
|a→| = 100

2․ Գտնել տրված վեկտորների երկարությունները, եթե տրված են նրանց կոորդինատները:

a→{−24;10} ;

|a→| = √((-24)² + 10²)
|a→| = √(576 + 100)
|a→| = √676
|a→| = 26

b→{10;−24};

|b→| = √(10² + (-24)²)
|b→| = √(100 + 576)
|b→| = √676
|b→| = 26

c→{−5;−12} ∣

|c→| = √((-5)² + (-12)²)
|c→| = √(25 + 144)
|c→| = √169
|c→| = 13

3․ a→ վեկտորի սկզբնակետը A(12;18) կետն է, իսկ վերջնակետը՝ B(21;20) կետը: Գտնել a→ վեկտորի կոորդինատները:

x=21-12=9

y=20-18=2.

{9;2}

4․ Հարթության վրա տրված են երեք կետեր՝ A(14;4), B(17;10), C(9;14)։ Գտնել  AB→ և BC→ վեկտորների կոորդինատները:

AB

x=17-14=3

y=10-4=6

{3;6}

BC

x=17-9=8

y=14-10=4

{8;4}

5․ Տրված են a→=AB→ վեկտորի կոորդինատները և նրա վերջնակետի կոորդինատները:

Որոշիր վեկտորի սկզբնակետի կոորդինատները, եթե a→{−5;−3}, B(0;4)

x=0 + 5 = 5
y=4 + 3 = 7

A={5;7}

6․ Տրված է A(12;1), B(36;46), C(6;62) և D(−18;17) գագաթներով ABCD քառանկյունը: Հաշվել AB→,DC→, AD→ և BC→ վեկտորների կոորդինատները

AB

x=36-12=24

y=46-1=45

{24;45}

DC

x=6-(-18)=24

y=62-17=45

{24;45}

AD

x=12-(-18)=30

y=17-1=16

{30;16}

BC

x=36-6=30

y=62-46=16

{30;16}

AB={24;45}

DC= {24;45}

AD={30;16}

BC={30;16}

Թեմա՝ Վեկտորների հասկացությունը։ Վեկտորների հավասարությունը։

Վեկտորը լատիներեն բառ է, որը նշանակում է տանող:

Գծենք որևէ AB  հատված: Նրա մի ծայրակետը, օրինակ՝ A-ն անվանենք սկիզբ (կամ սկզբնակետ), իսկ մյուսը՝ B-ն` վերջ (կամ վերջնակետ): AB հատվածի A-ից B ուղղությունը նշում են սլաքի միջոցով: Արդյունքում ստացվում է ուղղորդված հատված:

Ուղղորդված հատվածը կոչվում է վեկտոր:

Այսպիսով, այն հատվածը, որի համար նշված է, թե նրա ծայրակետերից որն է սկիզբը, իսկ որն է վերջը, կոչվում է ուղղորդված հատված կամ վեկտոր:

Վեկտորները կարելի է նշանակել երկու ձևերով:

• Երկու մեծատառերի միջոցով, որոնց վրա դրվում է սլաք՝ AB→(կարդում են AB վեկտոր): Առաջին տառը ցույց է տալիս վեկտորի սկիզբը, իսկ երկրորդը՝ վերջը:
• Մեկ փոքրատառով, որի վրա դրվում է սլաք՝ a→  (կարդում են a վեկտոր):

Եթե վեկտորի սկիզբն ու վերջը համընկնում են, ապա այն կոչվում է զրոյական վեկտոր և նշանակվում է՝ 0→:  Հարթության ցանկացած կետ կարելի է համարել զրոյական վեկտոր:

AB հատվածի երկարությունը կոչվում է AB→վեկտորի երկարություն կամ մոդուլ և նշանակվում է՝ ∣AB→∣

∣g→∣=1.5, ∣AB→∣=3 գրառումները նշանակում են, որ g→ վեկտորի երկարությունը հավասար է 1.5 միավորի, իսկ AB→ վեկտորի երկարությունը՝ 3 միավորի:

Զրոյական վեկտորի երկարությունը հավասար է զրոյի՝ ∣0→∣=0

Բազմաթիվ ֆիզիկական մեծություններ, օրինակ՝ ուժը, տեղափոխությունը, արագությունը, բնութագրվում են ոչ միայն թվային արժեքով, այլև տարածության մեջ նրանց ունեցած ուղղությունով:

Մեծությունները, որոնք ունեն թվային արժեք և ուղղություն, կոչվում են վեկտորական մեծություններ:

Մեծությունները, որոնք ունեն միայն թվային արժեք և չունեն ուղղություն, կոչվում են սկալյար մեծություններ:

Սկալյար մեծություններ են, օրինակ՝ երկարությունը, քանակը, խտությունը:

Ոչ զրոյական վեկտորները կոչվում են համագիծ կամ կոլինեար, եթե նրանք գտնվում են կամ նույն ուղղի վրա,  կամ զուգահեռ ուղիղների վրա:

Զրոյական վեկտորը համարվում է համագիծ ցանկացած վեկտորին:

Եթե a→ և b→ վեկտորները համագիծ են, ապա գրում ենք այսպես՝ a→∥b→

Երկու համագիծ վեկտորները կարող են ուղղված լինել կամ միանման, կամ հակառակ:

Առաջին դեպքում վեկտորները կոչվում են համուղղված, իսկ երկրորդ դեպքում՝ հակուղղված:



Համուղղված վեկտորները նշանակում են այսպես՝ a→↑↑b→, իսկ հակուղղվածներն այսպես՝ a→↑↓b→

Զրոյական վեկտորը համարվում է համուղղված ցանկացած վեկտորին:

Հավասար վեկտորներ

Վեկտորները կոչվում են հավասար, եթե նրանք համուղղված են, և նրանց երկարությունները հավասար են:



Եթե a→ և b→ վեկտորները հավասար են, ապա գրում են այսպես՝ a→=b→

Հավասար վեկտորների ուղղությունները համընկնում են, իսկ մոդուլները՝ հավասար են:

Հավասար մոդուլներ ունեցող հակուղղված վեկտորները կոչվում են հակադիր վեկտորներ:



Եթե a→ և b→ վեկտորները հակադիր են, ապա գրում են այսպես՝ a→=−b→

Փոխելով վեկտորի ուղղությունը հակառակով՝ ստանում ենք տրվածին հակադիր վեկտոր՝ AB→=−BA→

Առաջադրանքներ։

1․ Հետևյալ մեծություններից որո՞նք են վեկտորական:

տեղափոխություն

լայնություն

կշիռ

աշխատանք

2․ ABCD ուղղանկյան տրված նկարի օգնությամբ որոշիր AB և BC վեկտորների երկարությունները, եթե հայտնի է, որ AB=10, BC=24

|A^→B∣=10, ∣BC∣=24

AB=10 BC=24։

3․ d→ և z→ վեկտորները հակադիր են: Գտնել z→ վեկտորի երկարությունը, եթե ∣d→∣=15։

z^→=−d^→, ∣d^→∣=15 ∣z^→∣=15

Հուշում՝ Հավասար երկարություն ունեցող հակուղղված վեկտորները կոչվում են հակադիր վեկտորներ:

4․ Ընտրել հակադիր վեկտորները:

Առաջադրանքներ։

1․ Որոշել  A(0;25) կետով անցնող և աբսցիսների առանցքին զուգահեռ ուղղի հավասարումը:

y=25

2․ Կազմել  A(7;−20) կետով անցնող և օրդինատների առանցքին զուգահեռ ուղղի հավասարումը:

x=7

3․ Արդյո՞ք B(0;2) կետը գտնվում է −8x−y+2=0 ուղղի վրա:

Այո

4․ Տրված է 3x−y+29=0 ուղիղը: Գտնել այն կետի օրդինատը, որի աբսցիսը հավասար է 3-ի:

(3;38)

5․ Տրված է 2x−2y+42=0 ուղիղը: Գտնել այն կետերը, որոնցում ուղիղը հատում է կոորդինատային առանցքները. ա Ox առանցքի հետ հատման կետը՝ բ. Oy առանցքի հետ հատման կետը՝

Ox հատման կետ՝ (−21;0)(-21;0)(−21;0), Oy հատման կետ՝ (0;21)(0;21)(0;21)

6․ Տրված ուղիղը անցնում է A(1;−1) և B(2;0) կետերով: Որոշել այդ ուղղի հավասարումը:

y=x−2

7․ Գրել կոորդինատների սկզբնակետով և A (4; 5) կետով անցնող ուղղի հավասարումը:

y=4|5​x

8․ Կազմել  A(−5;0) և B(0;3) կետերով անցնող ուղղի հավասարումը:

y=3|5x+3

Թեմա՝ Շրջանագծի հավասարումը։

Դուրս բերենք տրված կենտրոնով և տրված շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

1. Շրջանագծի բոլոր կետերը գտնվում են միևնույն կետից (կենտրոն) միևնույն հեռավորության վրա (շառավիղ):

2. Մենք ունենք երկու կետերի միջև հեռավորության հաշվման բանաձևը՝ 

Բարձրացնելով քառակուսի, ստանում ենք՝

Դիցուք շրջանագծի կենտրոնը C(x_C;y_C) կետն է, իսկ շառավիղը՝ R-ն է: 

Շրջանագծի ցանկացած P(x;y) կետ գտնվում է C կենտրոնից R հեռավորության վրա:

Հետևաբար, տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը՝ 

(x−x_O)²+(y−y_O)²=R²

Սա հենց C կենտրոնով և R շառավղով շրջանագծի հավասարումն է:

Եթե շրջանագծի կենտրոնը կոորդինատների (0;0) սկզբնակետն է, ապա հավասարումը ստանում է հետևյալ տեսքը՝ x²+y²=R² ։

Առաջադրանքներ․

1․ A(2; 3), B(3; 4), C(5; 0), D(-4; 5), E(-3; 4) կետերից որո՞նք են գտնվում x²+ y² = 25 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի վրա:

B, C, E

2․ Գտնել շրջանագծի շառավիղը և կենտրոնի կոորդինատները, որը տրված է հետևյալ հավասարումով․ ա) x²+y²=9, բ) (x-1)²+(y+2)²=4, գ) (x+3)²+y² =16

ա) Կենտրոն (0,0), R=3
բ) Կենտրոն (1,−2), R=2
գ) Կենտրոն (−3,0), R=4

3․ Գրել 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը, եթե դրա կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է:

x2+y2=49

4․ Գրել O (-2; 3) կենտրոնով շրջանագծի հավասարումը, որն անցնում է B(1; 2) կետով:

(x+2)2+(y−3)2=10

5․ Գտնել O(3;1) կենտրոնով և A (6; -3) կետով անցնող շրջանագծի շառավիղը:

R=5

6․ Ինչի՞ է հավասար (x — 11)² + (y + 24)² = 36 հավասարմամբ որոշվող շրջանագծի տրամագիծը:

Տրամագիծ = 12

7. Գրել A(3; — 4) կենտրոնով և R = 7 շառավղով շրջանագծի հավասարումը:

(x−3)2+(y+4)2=49

8․ Գրել AB տրամագծով շրջանագծի հավասարումը, եթե A(2; -1), B(4; 3):

(x−3)²+(y−1)²=5

Թեմա՝ Կոորդինատային հարթություն

Հատվածի միջնակետի կոորդինատները․

Հեռավորությունը կետերի միջև.

Առաջադրանքներ․

1․ Գտնել AB հատվածի M միջնակետի կոորդինատները, եթե

ա) A(1;-6), B(-5;4) բ) A(-8;7), B(6;-12) գ) A(-14;23), B(32;-38):

ա) A(1;−6),B(-5;4) M=(−2,−1)
բ) A(−8;7),B(6;−12) M=(−1,−2.5)
գ) A(−14;23),B(32;−38) M=(9,−7.5)

2․ Գտնել A և B կետերի հեռավորությունը, եթե

ա) A(3 9), B(-3, 9), բ) A(-8, 1), B(-8, -6), գ) A(6, 0), B(0, 8),

ա) A(3;9),B(−3;9) AB=6
բ) A(−8;1),B(−8;−6) AB=7
գ) A(6;0),B(0;8) AB=10

3․ Օրդինատների առանցքի վրա գտնել այնպիսի կետ, որը հավասարահեռ լինի հետևյալ կետերից ա) A(-3;5) և B(6;4), բ) A(4;-3) և B(8;1)

ա) A(−3;5),B(6;4) M=(0;4.5)
բ) A(4;−3),B(8;1) M=(0;−1)

4․Աբսցիսների առանցքի վրա գտնել այնպիսի կետ, որը հավասարահեռ լինի հետևյալ կետերից

ա) A(1;2) և B(-3;4), բ) A(1;1) և B(3;5)

ա) A(1;2),B(−3;4) M=(−1;0)
բ) A(1;1),B(3;5) M=(2;0)

5. Տրված են A(-2;1), B(1; 5), C(7;5), D(4;1) կետերը: Գտնել ABCD քառանկյան անկյունագծերը և պարագիծը:

AC=√97

BD= 5

AB=5, BC=6, CD=5, DA=6

Պարագիծ P=22

6. Գտնել AB հատվածի երկարությունը, եթե A(4;-1), իսկ M(2;-3) կետը այդ հատվածի միջնակետն է

B=(0;−5) AB=√32=4√2AB

Առաջադրանքներ

1․ Գտնել կոորդինատային հարթության վրա M(5;12) կետի հեռավորությունը կոորդինատների սկզբնակետից:

OB=5-0=5
BO=12-0=12
OM=√OB²+BO²=√5²+12²=5+144=149

2․ Հաշվիր հեռավորությունները հետևյալ կետերի միջև:

ա) A(8;1) և B(5;5);  

OA=8-5=3
OB=5-1=4
BA=√4²+3²=4+9=12

բ) M(5;5) և N(1;8)

DM=8-1=7
DN=8-5=3
NM=√7²+3²=7+9=16

3․ Գտնել կոորդինատային հարթության վրա A(21;23) և B(24;27) ծայրակետերով հատվածի երկարությունը:

DA=22-21=1
DB=27-21=6
AB=√6²+1²=6+1=7

4․ Գտնել MNP եռանկյան պարագիծը, եթե M (7;5), N(4,1), P(10,9)։

NO=10-4=6
PO=9-1=8
NP=√8²+6²=8+36=44

5․ Գտնել x-ը, եթե A(2,1) և B(x;1) կետերի հեռավորությունը 2 է։

1.Կետեր՝ A(2,1) B(x,1)

2.Հեռավորություն՝ √(x−2)²+(1−1)²=2

3.Պարզեցում՝ √(x−2)2=2  ⟹  ∣x−2∣=2

4.Հաշվենք՝x−2=2  ⟹  x=4 = 0x−2=−2⟹x=0

Պատասխան՝ x=0 =4

Առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ ր քառորդում են գտնվում  հետևյալ կետերը՝ A(13;−40),  B(−40;15),  C(18;10)   D(−40;−26), M(−11;−47), K(−14;13):

A–4, B–2, C–1, D–3, M–3, K–2

2․ Գտնել  օրդինատների առանցքի նկատմամբ (25;7) կոորդինատներով կետին համաչափ կետը:

(−25; 7)

3․ Կոորդինատային հարթության վրա վերցված է (0;34) կոորդինատներով կետը: Որոշել x-երի առանցքի նկատմամբ նրան համաչափ կետի կոորդինատները:

(0; −34)

4․ Գրել P(23;2) կետի հեռավորությունը աբսցիսների առանցքից:

2

5․ Գտնել ABCD զուգահեռագծի D գագաթի կոորդինատները, եթե A(0;0), B(5;0), C(12;-3)

(7; −3)

6․ Հաշվել (16;14) կետը կոորդինատների սկզբնակետի հետ միացնող հատվածի միջնակետի կոորդինատները:

(8; 7)

7․ Որոշել (30;24) և (4;20) կետերը միացնող հատվածի միջնակետի կոորդինատները:

(17; 22)

8․ Կոորդինատային հարթության վրա տրված է D(−16;8) կետը: Գտնել այնպիսի C(x;y) կետ, որ կոորդինատների սկզբնակետը հանդիսանա DC հատվածի միջնակետը:

(16; −8)

9. Գտնել AB հատվածի M միջնակետի կոորդինատները, եթե ա) A(2;-3), B(-3;1) բ) A(4;7), B(-6;8) գ) A(1;3), B(3;-8):

ա) (−0.5; −1) բ) (−1; 7.5) գ) (2; −2.5)