Կրկնողություն

1․ Գտնել ուղղանկյան մակերեսը, եթե նրա կողմերը հավասար են a=5 սմ, b=6սմ։

S=5×6=30 սմ²

2․ Քառակուսու կողմը 25 սմ է: Գտնել նրա մակերեսը:

S=կողմ²

S=25²=625սմ²

3․ Եռանկյան կողմերից մեկը 15 սմ է, իսկ եռանկյան մակերեսը՝ 180 սմ² է։ Գտնել տրված կողմին տարված բարձրությունը։

S=21​⋅a⋅h⟹180=21​⋅15⋅h⟹180=7.5h⟹h=24 սմ

Պատասխան։ 24սմ 

4․ Որքա՞ն է ներգծյալ անկյունը, որը հենված է 260° աստիճանային չափով աղեղի վրա:

Ներգծյալ անկյուն=2/260^∘​=130^∘

Պատասխան: 130^օ

5․ Որքա՞ն է կենտրոնային անկյունը, եթե նրան համապատասխանող ներգծյալ անկյունը 56° է:

Կենտրոնական անկյուն=2⋅56^∘=112^∘

Պատասխան: 112^∘

6․ Խորանարդի նիստերից մեկի պարագիծը 20 սմ է։ Գտնել խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

4a=20⟹a=5, S=6a²=6⋅25=150 սմ²

Պատասխան: 150 սմ²

7․ Ուղղանկյունանիստի չափումներն են ՝ 2 սմ, 3 սմ և 4 սմ։ Գտնել ուղղանկյունանիստի ծավալը։

V=a⋅b⋅c=2⋅3⋅4=24 սմ³

Պատասխան: 24 սմ³

1․ Գտնել անկյունների գումարը․

ա) ուռուցիկ հնգանկյան,

S=(5−2)*180˙=3*180=540˙

բ) ուռուցիկ վեցանկյան,

S=(6−2)*180=4*180=720˙

գ) ուռուցիկ տասնմեկանկյան։

S=(11−2)*180=9*180=1620˙

2․ Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 720⁰ է։

(n−2)*180=7200. n−2=7200/​180=40. n=40+2=42

3․ Գտնել քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 75 սմ է, առաջին կողմը երկրորդից մեծ է 8 սմ-ով,երրորդը 5սմ-ով փոքր է երկրորդից, իսկ չորրորդը երեք անգամ մեծ է երկրորդից։

(x+8)+x+(x−5)+3x=75

x+8+x+x−5+3x=75

6x+3=75

6x=72. x=12

Երկրորդ կողմը՝ x=12

Առաջին կողմը՝ 12+8=20 սմ

Երրորդ կողմը՝ 12−5=7 սմ

Չորրորդ կողմը՝ 3*12=36 սմ

4․ Գտնել զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը հավասար է 120⁰։

Լուծում չունի

5․ Գտնել ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե ∠ A=84⁰:

C=A=84

B=180−84=96

D=B=96

6. Սեղանի հիմքերը հարաբերվում են ինչպես 2։3, իսկ միջին գիծը 15 սմ է։ Գտնել սեղանի հիմքերը։

12 սմ և 18 սմ

7․ Ուղղանկյան անկյունագծերիհատման կետի հեռավորությունը մեծ կողմից 5 սմ է, իսկ փոքր կողմից՝ 7 սմ։ Գտնել ուղղանկյան պարագիծը։

P=2(a+b)=2(10+14)=2*24=48 սմ

8․ Քառակուսու պարագիծը 60 սմ է։ Որքա՞ն է քառակուսու անկյունագծի միջնակետի հեռավորությունը նրա կողմից։

7.5 սմ

1․ Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են էջը՝ a=8, և այդ էջին կից անկյունը՝ B=45⁰։ Գտնել եռանկյան անհայտ էջը, ներքնաձիգը և անկյունը։

b=8,c=11,31 անկյուն A=45

2. Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են էջը՝ b=6, և այդ էջին դիմացի անկյունը՝ B=30⁰։ Գտնել եռանկյան անհայտ էջը, ներքնաձիգը և անկյունը։

a=10,39 c=12. անկյուն A=60

3․Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ հայտնի են ներքնաձիգը՝ c=10, և անկյունը՝ B=60⁰։ Գտնել եռանկյան անհայտ էջերը, ներքնաձիգը և անկյունը։

a=5. b=8,66 անկյուն A=30

4. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունը հավասար է 50⁰, իսկ հիմքը 14 սմ է։ Գտնել այդ եռանկյան ա) սրունքը, բ) հիմքին իջեցրած բարձրությունը, գ) գագաթի անկյունը։

b=10.89

h=8.34

անկյուն A=80

1․ Կառուցել α անկյունը, եթե՝
ա) tg α=1/2,
Նրա էջերը պետք է իրարից մեծ լիներ 2 անգամ(ԱՀ)
բ) tg α=3/4,
Նրա էջերը պետք է հարաբերվեն ինչպես 3;4
գ) cos α=0,2,
Նրա կից էջը և ներքնաձիգը պետք է հարաբերվեն ինչպես 1;5
դ) cos α=2/3,
Նրա կից էջը և ներքնաձիգը պետք է հարաբերվեն ինչպես 2;3
ե) sinα=1/2,
Նրա դիմացի էջը և ներքնաձիգը պետք է հարաբերվեն ինչպես 1;2(30^o)
զ) sinα=0,4:
Նրա դիմացի էջը և ներքնաձիգը պետք է հարաբերվեն ինչպես 2;5

2. Գտնել
ա) sinα, tg α, եթե cos α=1/2,
sinα — √3/2
tgα — √3
բ) sinα, tg α, եթե cos α=2/3,
sinα — √5/3
tgα — √5/2
գ)cos α,tg α, եթե sinα=1/4
cos α — √15/4
tg α — 1/√15

1․ Ի՞նչ է սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս կոչվում է այդ անկյան կից էջի հարաբերությունը ներքնաձիգին:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան տանգենս կոչվում է այդ անկյան դիմացի էջի հարաբերությունը կից էջին:

2․ ABC ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունների սինուսի, կոսինուսի և տանգենսի արժեքների վերաբերյալ ո՞ր բանաձևերն են ճիշտ:

ա) tgA=CB/CA բ)tgA=CA/CB գ) բոլորն էլ սխալ են դ) cosA=AC/AB

ե) sinB=AC/AB զ) բոլորն էլ ճիշտ են է) sinB=AB/CB ը) cosA=AC/AB

3․ Գտնել D անկյան սինուսը, կոսինուսը և տանգենսը;

sinD=FE/FD

conD=DE/DF

tgD=EF/ED

4․ Գտնել F անկյան սինուսը,կոսինուսը և տանգենսը:

sinF=ED/DF

conF=EF/DF

tgF=ED/EF

5․ Տրված է ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Գտնել A անկյան սինուսն ու կոսինուսը: 

ա) Ո՞րն է A անկյան սինուսը՝    BC/BA CB/AC CA/BA

բ) Ո՞րն է A անկյան կոսինուսը՝ CA/BA CB/AC BC/BA

6․ Կամայական ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը փոքր է մեկից: Բացատրել, ինչո՞ւ

Սինուսը փոքր է մեկից որովհետև դիմացի էջը միշտ փոքր է ներքնաձիգից և երբ որ փոքր թիվը բաժանում ենք մեծ թվի միշտ մեկից փոքր է լինում պատասխանը։

7․ Կարո՞ղ է մեկից մեծ արժեք ունենալ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան ա) կոսինուսը բ) տանգենսը: Պատասխանը հիմնավորել:

Կոնսինուսը չի կարող որովհետև կից կողմը փոքր է ներքնաձիգից և փոքր թիվ բաժանաց մեծ թվի հավասար է լինում եկից փոքր։ Տանգենսը կարող է մեկից մեծ լինել որովհետև 2 էջերը կարող են հավասար լինել մեծ լինել կամ փոքր լինել իրարից։

8. Գծել ABC ուղղանկյուն եռանկյունը այնպես, որ ∠C=90°, CA=6 սմ և CB=10 սմ: Գտնել A և B սուր անկյունների սինուսը, կոսինոիսը և տանգենսը:

AC²+CB²=AB^2. 6²+10²=AB^2. 36+100=AB^2. AB²=136. AB=√136.

sinA=10/√136=0.859. cosA=6/√136=0.515. tgA=10/6=1.667

sinB=6/√136=0.515. cosB=10/√136=0.859. tgB=6/10=0.6

9. ABC ուղղանկյուն եռանկյան մեջ C -ն ուղիղ անկյունն է, CA=18 սմ և CB=24 սմ: Հաշվել B անկյան տանգենսը, սինուսը և կոսինուսը:

AC²+CB²=AB^2. 18²+24²=AB^2. 324+576=AB^2. AB²=900. AB=√900. AB=30

sinB=18/30=0.6. conB=24/30=0.8. tgB=18/24=0.75

Գիտելիքների ստուգում

1․ Զուգահեռագծի մակերեսը։

S = a × h a-ն կողմն է, իսկ h-ը՝ այդ կողմին տարված բարձրությունը:

2․ Գտնել քառակուսու մակերեսը, եթե նրա կողմը   հավասար է  5 դմ։

S = a² = 5² = 25 դմ²

3․ Գտնել ուղղանկյան անհայտ կողմը, եթե նրա  մակերեսը 24 սմ², իսկ կողմերից մեկը 4 սմ է։

S = a × b ⇒ 24 = 4 × b ⇒ b = 24 / 4 = 6 սմ

4․Հաշվել շեղանկյան մակերեսը, եթե նրա  կողմը 20 դմ է, իսկ այդ կողմին տարված    բարձրությունը 17 դմ է:

S = a × h = 20 × 17 = 340 դմ²

5․ Գտնել ուղղանկյուն եռանկյան մակերեսը, եթե    նրա էջերն են 4 սմ և 12 սմ։

S = (a × b) / 2 = (4 × 12) / 2 = 48 / 2 = 24 սմ²

6․ Գտնել AD և BC հիմքերով ABCD սեղանի  մակերեսը, եթե CD⊥AD, AD=13 սմ, CD=8 սմ, BC=5 սմ:

S = ((a + b) × h) / 2,

a = AD = 13 սմ, b = BC = 5 սմ, h = CD = 8 սմ

S = ((13 + 5) × 8) / 2 = (18 × 8) / 2 = 144 / 2 = 72 սմ²

1․ Պարզել, թե արդյոք ուղղանկյուն եռանկյուն է այն եռանկյունը, որի կողմերն արտահայտվում են հետևյալ թվերով․

ա) 6;8;10, ուղղանկյուն եռանկյուն է

բ) 5;6;7, ուղղանկյուն եռանկյուն չէ

գ) 9;12;15, ուղղանկյուն եռանկյուն է

դ) 10;24;26, ուղղանկյուն եռանկյուն է

ե) 3;4;6 ուղղանկյուն եռանկյուն չէ

զ) 11;9;13. ուղղանկյուն եռանկյուն չէ

է) 15;20;25։ ուղղանկյուն եռանկյուն է

2. Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․

ա)

12²+9²=c^2. 144+81=√225=15

բ)

A²+12²=20² A²+144=400. A²=400-144=256. A²=256. A=16. AF=16սմ. BD=16/2=8

գ)

3²+4²=C^2. 9+16=25. √25=5. 5+3=8 ֆուտ

3. Ըստ գծագրերի տվյալների որոշել անհայտները․

1)3√2
2)8
3)3√2
4)x=6
S = 24
5)2√34
6)a√3

4. Հավասարասրուն եռանկյան պարագիծը 62 է, իսկ հիմքը՝ 20 : Գտնել հիմքին տարված բարձրությունը։

a+2b=p 20+2b=62. 2b=62-20. 2b=42. b=21 h²+20²=21^2. h²+400=441. h²=441-400. h²=41. h=6.4

1․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

ABC եռանկյան CD բարձրության D կետը գտնվում է AB կողմի վրա , ընդ որում՝ AD=BC: Գտնել AC-ն, եթե AB=3 , իսկ CD=√3:

A²+3²=C^2. AD=√3. C²(BC)=√3. A²+9=3. A²=3-9. A²=-6. A=√-6. AC=√-6

2․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 9 սմ և 18 սմ են, իսկ մեծ սրունքը՝ 15 սմ։ Գտնել սեղանի մակերեսը։

A²+9²=15^2. A²+81=225. A²=225-81. A²=144. A=12. 18+9=27/2=13.5*12=162սմ²

3․ Լուծել խնդիրը և գծել գծագիրը։

Զուգահեռագծի անկյունագծերից մեկը նաև նրա բարձրությունն է։ Գտնել այդ բարձրությունը, եթե զուգահեռագծի պարագիծը 50 սմ է, իսկ կից կողմերի տարբերությունը՝ 1 սմ։

2(x-1)+2x=50. 2x-2+2x=50. 2x+2x=50+2. 4x=52. x=52/4. x=13. 13-1=12. x=13 x-1=12

h²+12²=13² h²+144=169. h²=25. h=√25​=5

4․ Գտնել AC կողմը.

A²+48²=80^2. A²+2304=6400. A²=6400-2304. A²=4096. A=64

A²+84²=91^2. A²+7056=8281. A²=8281-7056. A²=1225. A=35

5. Գտնել նկարում պատկերված եռանկյունների անհայտ կողմերը․

6²+8²=C^2. 36+72=C^2. C²=108. C=√108

A²+5²=7^2. A²+25=49. A²=49-25. A²=24. A=√24

A²+12²=13² A²+144=169 A²=169-144. A²=25. A=5. 5*2=10. A=10

6. Ուղղանկյուն եռանկյան մի էջը 7 մ է, իսկ ներքնաձիգի և մյուս էջի գումարը 49 մ է: Գտնել ներքնաձիգը և էջը։

72+x²=(49−x)^2. 49+x²=2401−98x+x²

49=2401−98x. 98x=2352. x=24. 49-24=25

Ներքնաձիգը=25. էջ=24

7․ Տան տանիքին և փողոցի լապտերի սյան վրա գտնվում են երկու աղավնի: Կարինեն տան մոտ մի քիչ ցորեն լցրեց: Երկու աղավնիները միաժամանակ, նույն արագությամբ թռան դեպի ցորենը և միաժամանակ տեղ հասան:

Հաշվել, թե տնից ի՞նչ հեռավորության վրա Կարինեն լցրեց ցորենը, եթե հայտնի է, որ տան բարձրությունը 4 մ է, սյան բարձրությունը՝ 3 մ, և սյունը գտնվում է տնից 7 մ հեռավորության վրա:

√x²+16=√(7−x)²+9​

x²+16=(7−x)²+9. x²+16=49−14x+x²+9. x²+16=x²−14x+58. 16=−14x+58⇒14x=42. x=3

1․ Գտեք ուղղանկյուն եռանկյան ներգնաձիգը ՝ ըստ տրված a և b էջերի

ա) a=3 սմ, b=4 սմ, 3²+4²=9+16=25=5սմ

բ) a=5 սմ, b=12 սմ։ 5²+12²=25+144=169=13սմ

2․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերը 60 սմ և 80 սմ են: Գտնել եռանկյան ներքնաձիգը:

60²+80²=3600+6400=10000=100սմ

3․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջերն են a-ն և b-ն, իսկ ներգնաձիգը ՝ c-ն: Գտեք b-ն, եթե ՝ ա) a=12 սմ, c=13 սմ, բ) a=9, c=15; 

4․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 5 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 13 սմ: Գտնել եռանկյան մակերեսը:

5²+b²=13^2. 25+b²=169. b²=169-25. b²=144. 144=12սմ

5․ Ուղղանկյուն սեղանի հիմքերը 13 դմ և 25 դմ երկարություններով հատվածներ են: Փոքր սրունքը 9 դմ է: Հաշվել սեղանի մեծ սրունքը:

25-13=12
9²+12²=225
225=15սմ

6․ Մայրիկը բակում ուզում է կառուցել ուղղանկյունաձև ծաղկանոց՝ 6 մ և 8 մ կողմերով: Որքա՞ն պիտի լինի ծաղկանոցի անկյունագիծը, որպեսզի այն ունենա ուղղանկյան ձև:

6²+8²=36+64=100=10սմ

7․ Շեղանկյան անկյունագծերը 14 սմ և 48 սմ են: Հաշվել շեղանկյան կողմը:

14:2=7 48:2=24. 7²+24²=49+576=625=25

8․ Քառակուսու կողմը 25 սմ է: Հաշվել քառակուսու անկյունագիծը:

25²+25²=√1250=1250/25=50/25=2. 25*25*2. √25²*2. 25√2

9․ Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 20 սմ է, իսկ սրունքը՝ 26 սմ: Հաշվել հիմքին տարված բարձրությունը:

20/2=10.

h²+10²=26²

h²+100=676

h²=676-100=576

h=√576=24սմ

10․Հավասարասրուն եռանկյան սրունքը 17 սմ է, իսկ հիմքը ՝ 16 սմ: Գտեք հիմքին տարված միջնագիծը:

16/2=8

h²+8²=17²

h²+64=289

h²=289-64=225

h=√225=15սմ

11․ Ուղղանկյուն եռանկյան էջը 15 սմ է, իսկ ներքնաձիգը՝ 25 սմ: Հաշվել երկրորդ էջի երկարությունը:

15²+b²=25²

225+b²=625

b²=625-225

b²=400

b=√400=20

12․ Ուղղահայաց պատին հենած է սանդուղք: Սանդուղքի երկարությունը 50 մ է: Սանդուղքի ծայրը, որը հենված է գետնին, գտնվում է պատից 30 մ հեռավորության վրա: Հաշվել, թե գետնից ի՞նչ հեռավորության վրա է գտնվում սանդուղքի երկրորդ ծայրը:

30²+b²=50²

900+b²=2500

b²=2500-900

b²=1600

b=√1600=40սմ

1. Հաշվիր խորանարդի լրիվ մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը  5 սմ է:

6*5²=6*5*5=25*6=150սմ²

2. Գտնել այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 24 սմ² : Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։

a²=24/6=4 a=2սմ

3․ Հաշվել  8 սմ կող ունեցող  խորանադի լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

6*8²=6*64=384սմ²

4․ Ուղղանկյունանիստի հիմքը a=6 սմ և b=7 սմ կողմերով ուղղանկյուն է, իսկ կողմնային կողը՝ c=8 սմ։ Գտնել այդ ուղղանկյունանիստի`

ա) հիմքի մակերեսը. a*b=6*7=42սմ²

բ) կողմնային մակերևույթի մակերեսը 2a*c+2bc. 2(6*8+7*8). 48+56=104*2=208սմ²

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը․ 208սմ²+42*2. 208+84=292սմ²

5. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 8 սմ կողմով քառակուսի է, իսկ կողմնային մակերևույթի մակերեսը հավասար է 112 սմ² ։ Գտեք ուղղանկյունանիստի կողմնային կողը և լրիվ մակերևույթի մակերեսը։

Sկողմ=4*a*h=112սմ^2. 4*8*h=112=32*h. h=112/32=3.5սմ

3.5+8*2=3.5+16=19.5սմ²

6․ Գտնել այն խորանարդի նիստի մակերեսը, որի մակերևույթի մակերեսը հավասար է 150 դմ² : Կարո՞ղ եք գտնել այդ խորանարդի կողը։

a=150/6=25. √25=5դմ

Sնիստ=a²=5²=25դմ²

7. Ուղղանկյունանիստի հիմքը 24 սմ պարագծով քառակուսի է, իսկ կողմնային կողը հավասար է 5,5 սմ։ Գտնել այդ ուղղանկյունանիստի

p=24/4=6սմ

ա) կողմնային մակերևույթի մակերեսը 4*6*5.5=132սմ²

բ) հիմքի մակերեսը. a²=6²=36սմ²

գ) լրիվ մակերևույթի մակերեսը 132+36*2=132+72=204սմ²

8․ Ուղղանկյունանիստի չափումներն են՝ 5 սմ,6 սմ, 4 սմ։ Գտնել նրա մակերևույթի մակերեսը։

S=2(5⋅6+6⋅4+5⋅4)=2(30+24+20)=2⋅74=148սմ²

9․ Կարո՞ղ են արդյոք ուղղանկյունանիստի նիստերի մակերեսների արժեքները լինել այսպիսին․

3 սմ²,

4 սմ², այո

5 սմ², ոչ

3 սմ², ոչ

6 սմ², ոչ

2 սմ²։ ոչ

10․ Ոնենք 3 սմ կող ունեցող մի խոերանարդ։ Քանի՞ քառակուսի սանտիմետրով կավելանա նրա մակերևույթի մակերեսը, եթե նրա կողը մեծացնենք 1 սմ-ով։

S_1​=6a²=6⋅3²=6⋅9=54սմ²

S₂​=6a²=6⋅4²=6⋅16=96սմ²

96−54=42սմ²

11․ Ունենք երկու ուղղանկյունանիստ, որոնցից մեկի չափումներն են՝ 3 սմ, 2 սմ, 6 սմ, մյուսինը՝ 1 սմ, 5 սմ, 4 սմ։ Ո՞ր ուղղանկյունանիստի մակերևույթի մակերեսն է ավելի մեծ։

Առաջին ուղղանկյունանիստը ավելի մեծ է։