1․ Որոշիել ax+2y=16  հավասարման a գործակցի արժեքը, եթե հայտնի է, որ (−2; 4) թվազույգը այդ հավասարման լուծում է:
-2a+8=16
-2a=16–8
-2a=8
8/-2=-4

2․ Տված հավասարումներից y-ը արտանայտել x-ով:

ա) 2x+y=6
y=6-2x
բ) 3x+y=7
y=7-3x
գ) x+y-8=12
y=12-x
դ) y+2=6x
y=6x-2
ե) 3x+2y=9
2y=9-3x
զ) -4x+2y=13
2y=13+-4x

3․ Տված հավասարումներից x-ը արտանայտել y-ով:

ա) x-y+5=0
x=y-5
բ) 2x-3y+9=0
2x=3y-9
գ)15x+y-8=0
15x=-y+8
դ) x+3y-15=0
x=-3y+15
ե) 7x+y=6
7x=6-y
զ) -4x+y=-19
-4x=-19-y

Թեմա՝ Բազմանկյուն, ուռուցիկ բազմանկյուն

Բազմանկյուն կոչվում է պարզ փակ բեկյալից և նրանով սահմանափակված տիրույթից բաղկացած պատկերը:

Բեկյալի հանգույցները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ օղերը՝ կողմեր:

Բազմանկյան մի կողմին պատկանող երկու գագաթները կոչվում են հարևան գագաթներ: Երկու ոչ հարևան գագաթները (որոնք չեն գտնվում նույն կողմի վրա) միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

A, B, C, D, E՝ գագաթներ, AB, BC, CD, DE, AE՝ կողմեր, AC, AD, BE, BD, CE՝ անկյունագծեր: 

Բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է բազմանկյան պարագիծ: Յուրաքանչյուր քազմանկյուն հարթությունը բաժանում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ երկրորդը՝ արտաքին տիրույթ

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը:

Ընդհանուր դեպքում, բազմանկյունը կարելի անվանել n-անկյուն, եթե այն ունի n հատ կողմ, n հատ անկյուն և n հատ գագաթ:

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

Նկարում պատկերված F₁ բազմանկյունը ուռուցիկ է, իսկ F₂ բազմանկյունը ուռուցիկ չէ:

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°⋅(n−2)-ի:

Ցանկացած բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների: Այդպես է արված վերևի նկարում: Եռանկյունների թիվը  2 -ով քիչ է բազմանկյան կողմերի թվից: Եռանկյունների կողմերը բազմանկյան կողմեր և անկյունագծեր են:

Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է: Հետևաբար, ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1. Ո՞ր բազմանկյուն է կոչվում ուռուցիկ։

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

Եթե ոչ – ապա ուռուցիկ է։

2․ Ի՞նչ բանաձևով են հաշվում բազմանկյան բոլոր անկյունների գումարը։

(n-2)*180°=

3․ Գծագրել ուռուցիկ հնգանկյուն և վեցանկյուն: Բազմանկյուններից յուրաքանչյուրում որևէ գագաթից տարեք բոլոր անկյունագծերը: Տարված անկյունագծերով քանի՞ եռանկյան է տրոհվում բազմանկյուններից յուրաքանչյուրը:

Ըստ կանոնի՝

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

Դրա համար՝ եթե մեր հնգանկյուն և վեցանկյունը ուռուցիկ է, ապա կարող ենք հաստատ ասել որ տարված անկյունագծերով գծերը չեն տրոհի բազմանկյունները։

4. GEOGEBRA ծրագրով գծիր որևէ բազմանկյուն։շ

Կից անկյուններն են՝ ∠A և ∠D, ∠B և C, ∠A և ∠B, ∠C և D։

Հարևան գագաթներն են՝ A և D, B և C։
ա) Ցույց տուր գագաթները, նշիր կարմիրով

բ) Ցույց տուր կողմերը

գ) Ցույց տուր կից կողմերը

դ) Ցույց տուր հարևան գագաթները։

5.GEOGEBRA ծրագրով գծել ուռուցիկ բազմանկյուն, ինչի՞ է հավասար նրա պարագիծը։

Ես գծեցի հավասարակողմ եռանկյուն, ինչի պատճարով այս դեպքում, իր P-ն հավասար կլինի՝ P=a(կողմեր)*3=

6. GEOGEBRA ծրագրով գծել ոչ ուռուցիկ բազմանկյուն, ցույց տուր որ այն ուռուցիկ չէ։

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

7. GEOGEBRA ծրագրով գծել ուռուցիկ բազմանկյուն, նշիր նրա արտաքին և ներքին տիրույթները։  Ներքին տիրույթը ներկիր սպիտակ, արտաքին տիրույթը՝ կապույտ։

Հաշվի առնելով ֆոնի գույնը, ներքին անկյունը կապույտ գույնի արեցի։
8.GEOGEBRA ծրագրով գծել եռանկյուն։ Ինչքա՞ն է եռանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։

Եռանկյան անկյունների գումարը։

Ու կարևոր չի ինչպիսի եռանկյունը է այն, իր անկյունների գումարը միշտ կլինի 180°։

9. GEOGEBRA ծրագրով գծել քառանկյուն։ Ինչքա՞ն է քառանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 90°, ինչը նշանակում է՝

90°*4=360°

10. GEOGEBRA ծրագրով գծել հնգանկյուն։ Ինչքա՞ն է հնգանկյան  բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

Այս հարցի պատասխանը կարող ենք պարզել՝ հաշվարկելով, թե քանի եռանկյուն կլինի հնգանկյունից, այնուհետև այդ թիվը բազմապատկելով 180-ով։

(5-2)*180°=540°

11. GEOGEBRA ծրագրով գծել վեցանկյուն։ Ինչքա՞ն է վեցանկյան  բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

Այս հարցի պատասխանը կարող ենք պարզել՝ հաշվարկելով, թե քանի եռանկյուն կլինի հնգանկյունից, այնուհետև այդ թիվը բազմապատկելով 180-ով։

(6-2)*180°=720°

12․ Գտնել ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6 թվերին:

Ինչպես արթեն գիտենք, հնգանկյան անկյունների գումարը 540°։

Ենթադրենք, որ՝ A=2x, B=3x, C=4x, D=5x, E=6x

A+B+C+D+E=540°

2x+3x+4x+5x+6x=540°

540/20=27°

A=27*2=54°

B=27*3=81°

C=27*4=108°

D=27*5=135°

E=27*6=162°

Եկենք ստուգենք՝ 54°+81°+108°+135°+162°=540°

Թեմա՝ Կրկնողություն։

1. Գտեք ABC եռանկյան  C անկյունը, եթե
ա) ∠A=68⁰, ∠B=53⁰
ա) ∠A=25⁰, ∠B=110⁰։

∠C=180°−(∠A+∠B)

ա) ∠A = 68°, ∠B = 53°

∠C=180°−(68°+53°)=180°−121°=59°

բ) ∠A = 25°, ∠B = 110°∠C=180°−(25°+110°)=180°−135°=45°

2. Գտեք եռանկյան անկյունները, եթե ∠А:∠B:∠C=2:3:4։

2x+3x+4x=180°

9x=180°x=20°

∠A=2x=2×20°=40°

∠B=3x=3×20°=60°

∠C=4x=4×20°=80°

3. Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 110⁰ է։ Գտեք եռանկյան անկյունները։ Դիտարկել բոլոր հնարավոր դեպքերը։

180°−110°=70°

180°−(70°+70°)=40°

180°−70°=110°

Եռանկյան անկյուններն են՝ 70°, 70°, 110°

4․ Նկարում ∠4=∠5։ Զուգահեռ են արդյո՞ք a և b ուղիղները։

Այո քանի որ եթե խաչադիր անկյունները հավասար են, ապա a և b զուգահեռ են

5․ Գտնել ∠1-ը, եթե m || n

180 – 40 = 140^o

M=40, N=140

6. Գտնել հավասարասրուն ուղղանկյուն եռանկյան բոլոր անկյունները։

180°−90°​=90°​=45°

_______________

2 2

Այսպիսով, եռանկյան անկյուններն են՝ 90°, 45°, և 45°։

7. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյուններից մեկը 60⁰ է, իսկ ներքնաձիգը 26 սմ։ Գտնել փոքր էջի երկարությունը։

26սմ​=13սմ

_________

2

փոքր էջի երկարությունը 13 սմ է։

81.

6 ուղիղ

82.

4 կետ։

83.

12 անկյուն։

84.

ա)2x+x=24
3x=24
x=8
բ)2*8=16

85.

x+3x=14
4x=14
x=7/2(DB)
7/2*3=10,5(DA)

86.

1)KM=10+6=16
2)10-6=4

87.2x+x+x=a
4x=a
x=a/4
1)a/2+a/4=3/4a
2)a/2+a/8=5/8a

88.
1)1/3:2=1/6
1/6+1/6+1/6+1/6=2/3
2)1/5:2=1/10
1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10+1/10=4/5
89.
36-30=6
30-6=24
24:2=12

91.
1)35⁰+50⁰=85⁰
2)50⁰-35⁰=15⁰

92.
1)120⁰+150⁰=270⁰
2)150⁰-120⁰=30⁰

93.
ա)x+x+45=180⁰
2x=135⁰
x=67,5⁰
67,5+45=112,5
բ)y-x=35⁰
y+x=180⁰
y=35⁰+x
35⁰+x+x=180⁰
2x=145⁰
x=72,5⁰
72,5⁰+35⁰=107,5⁰
գ)2x+3x=180
5x=180⁰
x=36
2*36=72⁰
3*36=108⁰

94.
Ցանկացած կից անկյուններով կազմած անկյունը հավասար է 90⁰:

95. Քանի որ իրանք հավասար են միմյանց, և գտնվում են հակադիր ուղղություններով, իրենց կիսորդը ընդհանուր է։

96.
Քանի որ, կիսորդները կազմում են ուղիղ անկյուն, ուրեմն ABC և CBD կից անկյուններ են և AB ուրեմն փռված անկյունն է։

1) OE Ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք <AOB-ն, եթե <AOE=56⁰, <EOB=123⁰34’։

2) Ուղղանկյունաձև այգու հողամասի երկարությունը  5մ է, իսկ լայնությունը`  6մ: Գտեք այդ հողամասի պարագիծը:

6) Ուղղանկյունաձև այգու հողամասի երկարությունը  6մ է, իսկ լայնությունը`  7մ: Գտեք այդ հողամասի պարագիծը:

7)  OE Ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք <AOB-ն, եթե <AOE=56⁰, <EOB=12⁰3’

8) Քառակուսաձև այգու հողամասի երկարությունը  6մ է: Գտեք այդ հողամասի պարագիծը:

9)  OE Ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք <AOB-ն, եթե <AOE=21⁰, <EOB=123⁰31’

10)  OE Ճառագայթը AOB անկյունը տրոհում է երկու անկյան: Գտեք <AOB-ն, եթե <AOE=50⁰, <EOB=12⁰34’

AB և MN երկու հատվող ուղիղները առաջացնում են չորս անկյուններ՝ AOM, MOB, BON և NOA։ Բոլոր այդ անկյուններն ունեն ընդհանուր O գագաթ։ Եթե այդ անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա մյուս անկյունները ևս ուղիղ են։

Իրոք, եթե AOM անկյունն ուղիղ է, ապա նա կազմում է MON փռված անկյան կեսը և AOB փռված անկյան կեսը։ Ուրեմն, NOA և MOB անկյունները ևս ուղիղ են։ Քանի որ NOA անկյունն ուղիղ է, ապա նա հավասար է AOB փռված անկյան կեսին։ Ուրեմն, NOB անկյունը նույնպես ուղիղ է։ Երկու ուղիղներ, որոնք հատվելիս առաջացնում են ուղիղ անկյուններ, անվանում են ուղղահայաց ուղիղներ։ Գրում են.

AB⊥MN

Այս գրառումը կարդում են՝ “AB ուղիղն ուղղահայաց է MN ուղղին”։ Եթե AB⊥MN, ապա և MN⊥AB։

Ուղղահայաց ուղիղները կառուցելու համար օգտագործում են գծագրական եռանկյուն կամ անկյունաչափ։

Ուղղահայաց ուղիղների վրա գտնվող հատվածները անվանում են ուղղահայաց հատվածներ։

Առաջադրանքներ

1) Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմած անկյունը

2) K, L, M երեք կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: KL=6սմ, LM=10սմ: Որքան կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար: 16

3) Գտեք կից անկյունները, եթե նրանց տարբերությունը 35⁰ է:

4) a ուղիղը A անկյան կողմերը հատում է P և Q կետերում: Կարո՞ղ են, արդյոք, երկու՝ AP և AQ ուղիղներն էլ լինել a ուղղին ուղղահայաց:

5) Նկարում <AOB=50⁰, <FOE=70⁰: Գտեք AOC, BOD, COE և COD անկյունները:
<AOC=50⁰+70⁰=120⁰
<BOD=180⁰-50⁰=130⁰
<COE=130⁰-70⁰+50⁰=110⁰
<COD=130⁰-70⁰=60⁰

6)Ըստ նկարի՝ գտեք 1, 2, 3, 4 անկյունները, եթե՝

ա) <2+<4=220⁰,
<2=220:2=110⁰
<4=110⁰
110⁰+110⁰=220⁰

բ) 3(<1+<3)=<2+<4,
3(70⁰+70⁰)=110⁰+110⁰
???

գ) <2-<1=30⁰:
110⁰-70⁰=30⁰

7)O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում՝ OB⊥OA:AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 75⁰ է: Գտեք BOC և AOC անկյունները:

75^o-45^o=30^o
BOC=30^o+30^o=60^o
AOC=90^o+60^o=5150^o