Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

x + y + 1 =0

x = -y – 1

-y-1+2y-3=0

y-4=0

y = 4

x = -5

x+y-1=0

x=-y+1

-y+1-3y+3=0

-4y+4=0

y=-4 : 4 = 1

x = 0

y = 1

4x+y-2=0

y=-4x+2

3x – 4x – 2 + 3 = 0

-x + 5 0

x = 5

y = 7

x – y – 7 = 0

x = y + y

3(y+7)-y+1=0

3y+21-y+1=0

2y+22=0

y=-11

x=-4

2․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

x = -3y + 1

-(-3y+1)+4y+8=0

3y – 1 + 4y + 8 = 0

7y + 7 = 0

7y = -7

y = -1

y = -1

x – 2y + 3 = 0

x = 2y – 3

-(2y – 3) + 3y – 2 = 0

-2y + 3 + 3y – 2 = 0

y + 1 =0

y = -1

x = -2 -3

x = -5

x = y – 2

3(y-2) + y – 4 = 0

3y – 6 + y – 4 = 0

4y = 10

y = 2,5

x = 2,5 – 2 = 0,5

2x + y – 3 = 0

y = -2x + 3

-x – (-2x + 3) + 4 = 0

-x + 2x – 3 + 4 = 0

x + 1 = 0

x = -1

y = 2 + 3 =5

3․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

Թեմա՝ Տառային արտահայտությունների արտադրյալի նշանը, նշանապահպանման միջակայքեր

Տառային արտահայտությունում մեկ փոփոխականի առաջին կարգի բազմանդամ արտադրիչն անվանենք գծային արտադրիչ։ Օրինակ՝ (x − 2)(x − 5) արտահայտությունում x − 2 և x − 5 արտահայտությունները գծային արտադրիչներ
են, իսկ (x + 1)(x − 3) + 7-ում գծային արտադրիչ չկա։ Գծային արտադրիչներից կազմված տառային արտահայտության նշանը պարզելը հեշտ է։

Օրինակ 1
Պարզենք (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը, երբ x = 4:
Լուծում։
x − 2 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում դրական է, քանի որ 4 − 2 > 0:
x − 700 արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է, քանի որ 4 − 700 < 0: Ուրեմն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը x = 4 դեպքում բացասական է։

Պարզվում է, որ կարող ենք հեշտությամբ պարզել օրինակ 1-ի արտահայտության նշանը x-ի բոլոր արժեքների համար։ Նախ որոշենք, թե երբ է (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0։ Այն 0 է, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը 0 է, այսինքն՝ երբ x = 2 կամ x = 700: Կոորդինատային առանցքի վրա պատկերենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը։ Այդ կետերով կոորդինատային առանցքը բաժանվում է երեք մասի՝ (−∞, 2), (2, 700) և (700,+∞): Այժմ դիտարկենք x կոորդինատով կետի հնարավոր դիրքերը։

1) x կոորդինատով կետը գտնվում է (700, +∞) միջակայքում՝ x ∈ (700,+∞): Այս դեպքում x-ը 2 և 700 կոորդինատներով կետերից աջ է, այսինքն՝ x − 2 և x − 700 արտահայտությունները դրական են։ Քանի որ դրական թվերի արտադրյալը դրական է, ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

2)x ∈ (2, 700): Այդ միջակայքում գտնվող կետերը գտնվում են 2-ից աջ, 700-ից՝ ձախ։ Ուրեմն՝ x − 2 > 0 և x − 700 < 0: Փաստորեն (x − 2)(x − 700) արտահայտության արտադրիչներից մեկը դրական է, իսկ մյուսը՝ բացասական։ Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) < 0:

3)x ∈ (−∞, 2): Այս դեպքում x-ը գտնվում է 2-ից և 700-ից ձախ՝ x − 2 < 0 և x − 700 < 0: Ուրեմն՝ (x − 2)(x − 700) > 0:

Ամփոփենք.

1. (x − 2)(x − 700) արտահայտության արժեքը 0 է, երբ x = 2 կամ x = 700։
2. (−∞, 2) և (700, +∞) միջակայքերին պատկանող x-երի համար (x − 2)(x − 700)
   արտահայտության արժեքը դրական է։
3. x ∈ (2, 700) դեպքում՝ (x − 2)(x − 700) < 0:
   Այս ամենը կոորդինատային առանցքի վրա կարող ենք պատկերել սխեմատիկ.
4. Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք 2 և 700 կոորդինատներով կետերը:
5. Յուրաքանչյուր միջակայքի վրա նշենք այդ միջակայքում
   (x − 2)(x − 700) արտահայտության նշանը բնութագրող + կամ – նշանը։

(−∞, 2), (2, 700) և (700, +∞) միջակայքերը կոչվում են (x − 2)(x − 700) արտահայտության
նշանապահպանման միջակայքեր։ Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրում արտահայտության նշանը նույնն է։ Ինչպես տեսնում ենք, հարևան միջակայքերում արտահայտության նշանները տարբեր են։ Այդ օրինաչափությունը խախտվում է, երբ գծային արտադրիչներից որևէ մեկի ցուցիչը զույգ է։

Օրինակ 2
Պարզենք (x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։
Լուծում։
(x − 3)2(x − 1)(x + 5) արտահայտության արժեքը 0 է դառնում, երբ արտադրիչներից որևէ մեկը հավասարվում է 0-ի, այսինքն՝ x = −5, x = 1 և x = 3 դեպքերում: Կոորդինատային առանցքը −5, 1 և 3 կետերով բաժանվում է չորս միջակայքի՝ (−∞, −5), (−5, 1), (1, 3) և (3, +∞): Այդ միջակայքերից յուրաքանչյուրի համար կարող ենք հեշտությամբ որոշել արտահայտության նշանը։ Պարզվում է, որ (−5, 1) միջակայքում արտահայտությունը բացասական է, իսկ մնացած միջակայքերում՝ դրական։

Ինչպես տեսնում ենք, 3 կետից ձախ ու աջ միջակայքերում արտահայտության նշանը նույնն է։ Պատճառը x − 3 արտադրիչի ցուցիչի զույգ լինելն է։ (x − 3)² բացասական լինել չի կարող, ուստի չի ազդում արտահայտության նշանի վրա․ արտահայտության նշանը 3 կետից ձախ ու աջ նույնն է։ Գծային արտադրիչներից կազմված արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերի սխեմատիկ պատկերը կարող ենք գծել հետևյալ պարզ եղանակով.
• Կոորդինատային առանցքի վրա նշենք բոլոր գծային արտադրիչների արմատները:
• Ընտրենք նշվածներից մեծ թիվ և այդ միջակայքում (ամենաաջ միջակայքում) պարզենք արտահայտության նշանը:
• Շարժվենք ձախ։ Ամեն անգամ առանցքի վրա նշված a կետից ձախ անցնելիս նայենք արտահայտության մեջ x − a արտադրիչի ցուցիչին։ Եթե այն կենտ է, ապա a-ից ձախ անցնելիս արտահայտության նշանը փոխվում է, իսկ եթե զույգ է՝ մնում է նույնը։
Եթե x − a արտադրիչի ցուցիչում ոչինչ գրված չէ, ուրեմն ցուցիչը 1 է՝ x − a = (x − a)¹
:

Առաջադրանքներ․

1)Պարզե՛ք արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում (նշված կետում)․

ա) (x − 1)(x − 34), x = 11 բացասական։

բ) (x − 3)(x − 0.7), x = 2.2 բացասական:

գ) (x + 2)(x − 7), x = 9 դրական:

դ) (x − 4)(x − 9), x = 13 դրական:

ե) (x + 5)(x − 8), x = −10 դրական:

զ) (x − 5)(x + 10), x = 6 դրական:

2)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.

ա) (x − 2)(x − 8)

բ) (x − √6)(x +√8 )

գ) (x − 10)(x − 100)

դ) (x + √15 )(x − 5 √2 )

ե) (x − 2√7  )(x + 2)

զ) (x − 3√6 )(x + 4)

Այցված արտահայտություն	Արմատներ	Միջակայքներ	Նշան
(x − 2)(x − 8)	2, 8	(−∞,2)	+
		(2,8)	−
		(8,+∞)	+
(x − √6)(x + √8)	−√8, √6	(−∞,−√8)	+
		(−√8,√6)	−
		(√6,+∞)	+
(x − 10)(x − 100)	10,100	(−∞,10)	+
		(10,100)	−
		(100,+∞)	+
(x + √15)(x − 5√2)	−√15,5√2	(−∞,−√15)	+
		(−√15,5√2)	−
		(5√2,+∞)	+
(x − 2√7)(x + 2)	−2,2√7	(−∞,−2)	+
		(−2,2√7)	−
		(2√7,+∞)	+
(x − 3√6)(x + 4)	−4,3√6	(−∞,−4)	+
		(−4,3√6)	−
		(3√6,+∞)	+

3)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x − 2)(x − 5)(x − 6)

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3)

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3)
դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3)

ե) x(x − 1)(x + √6 )

զ) x(x − 2.5)(x − √6 )

Դրական է՝ (2, 5) և (6, +∞)

Բացասական է՝ (-∞, 2) և (5, 6)

Զրոյանում է՝ x = 2, x = 5, x = 6

բ) (x − 1)(x + 2)(x + 3)

Դրական է՝ (-3, -2) և (1, +∞)

Բացասական է՝ (-∞, -3) և (-2, 1)

Զրոյանում է՝ x = -3, x = -2, x = 1

գ) (x − 1)(x − 2)(x + 3).

Դրական է՝ (-3, 1) և (2, +∞)

Բացասական է՝ (-∞, -3) և (1, 2)

Զրոյանում է՝ x = -3, x = 1, x = 2

դ) (x − √5 )(x − 2)(x − 3)

բացասական է (-∞, 2) և (2, 3)

Դրական է (3, +∞)

Զրոյանում է x = √5, x = 2, x = 3

ե) x(x − 1)(x + √6 )

բացասական է (-∞, −√6) և (0, 1)

Դրական է (−√6, 0) և (1, +∞)

Զրոյանում է x = −√6, x = 0, x = 1

զ) x(x − 2.5)(x − √6 )

բացասական է (-∞, 0) և (√6, 2.5)

Դրական է (0, √6) և (2.5, +∞)

Զրոյանում է x = 0, x = √6, x = 2.5

4)Գտե՛ք արտահայտության նշանապահպանման միջակայքերը։ Պարզե՛ք արտահայտության նշանն այդ միջակայքերում.
ա) (x + 2)(3x − 9)

բ) (4x − 20)(x +  3/7 )

գ) (6x − 5)(x + 3)

դ) (2x − 8)(3x + 21)

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )

զ) (x + 4)(3x − 7)

ԼՈՒԾՈՒՄ։ գ) (6x − 5)(x + 3)-ի արտահայտության առաջին արտադրիչից 6-ը ընդհանուր հանենք՝
(6x − 5)(x + 3) = 6(x − 5/6 )(x + 3)։ Նշանապահպանման միջակայքերն են՝ (−∞, −3), (−3,  5/6) և
(5/6, +∞)։ Առաջին և երրորդ միջակայքերում դրական է, իսկ երկրորդում՝ բացասական։

ա) (x + 2)(3x − 9)

դրական է՝ (−∞, −2) և (3, +∞)

բացասական է՝ (−2, 3)

Զրոյանում է x = −2 և x = 3

բ) (4x − 20)(x +  3/7 )

դրական է (−∞, −3/7) և (5, +∞)

բացասական է (−3/7, 5)

Զրոյանում է x = −3/7 և x = 5

գ) (6x − 5)(x + 3)

դրական է (-∞, −3) և (5/6, +∞)

բացասական է (−3, 5/6)

Զրոյանում է x = −3 և x = 5/6

դ) (2x − 8)(3x + 21)

դրական է (-∞, −7) և (4, +∞)

բացասական է (−7, 4)

Զրոյանում է x = −7 և x = 4

ե) (2x + 1/3 )(x − √11 )

դրական է (-∞, −1/6) և (√11, +∞)

բացասական է (−1/6, √11)

Զրոյանում է x = −1/6 և x = √11

զ) (x + 4)(3x − 7)
դրական է (-∞, −4) և (7/3, +∞)

բացասական է (−4, 7/3)

Զրոյանում է x = −4 և x = 7/3

Թեմա՝ Թվային արտահայտություններ և նրանց արտադրյալի նշանը։

Թվային արտահայտություն կոչվում է իմաստալից կազմված ցանկացած գրառում՝ թվերի, թվաբանական գործողությունների և փակագծերի մասնակցությամբ:

Օրինակ 1.

3+5⋅(7−4)-ը թվային արտահայտություն է:

3+:−5-ը թվային արտահայտություն չէ, այլ սիմվոլների իմաստազուրկ հավաքածու:

Որոշել թվի նշանը՝ նշանակում է պարզել՝ այն դրակա՞ն է, բացասակա՞ն, թե՞ հավասար է 0-ի։ Արտահայտության նշան ասելով՝ նկատի ունենք այդ արտահայտության արժեքի նշանը։ Օրինակ՝ 3⋅(−5) արտահայտությունը բացասական է, իսկ (−2)⋅(−8)-ը՝ դրական։ Դրական կամ բացասական արտահայտությունը բացասական թվով բազմապատկելիս նշանը փոխվում է հակադիրի։։ Երկու
անգամ բացասական թվով բազմապատկելով՝ արտահայտության նշանը չի փոխվում։ ։ Դրա շնորհիվ կարող ենք հեշտությամբ պարզել թվերի արտադրյալի նշանը.
• Թվերի արտադրյալը զրո է, եթե արտադրիչներից գոնե մեկը
հավասար է զրոյի։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը դրական է, եթե բացասական
արտադրիչների քանակը զույգ է։
• 0-ից տարբեր թվերի արտադրյալը բացասական է, եթե
բացասական արտադրիչների քանակը կենտ է

Օրինակ՝ Պարզենք (−6) ⋅ (−7) ⋅ 5 ⋅ (−√2 ) արտահայտության նշանը։
Լուծում։ Չորս արտադրիչից երեքը բացասական են, իսկ մեկը՝ դրական։ Քանի որ երեքը կենտ է, ուրեմն արտահայտության արժեքը բացասական է։

Առաջադրանքներ

1․ Պարզել արտահայտության նշանը․

ա) 4 ⋅ (−17) ⋅ (−1), դրական

բ) (−6) ⋅ (−7) ⋅ (−6) ⋅ √5 , բացասական

գ) (−1) ⋅ (−2) ⋅ (−3) ⋅(- 4), դրական

դ) 3 ⋅ (−5) ⋅ 7 ⋅ (−8), դրական

ե) (−3) ⋅ (−6) ⋅ (−√3 ), բացասական

զ) (−25) ⋅ 31 ⋅ (−75)։ դրական

2․ Դրակա՞ն, թե՞ բացասական է արտահայտության արժեքը․
ա) (−3³)⁵, բացասական

բ) (− 3³)², դրական

գ) (−8)³², դրական

դ) (−8)⁴, դրական

ե) ((−3)²)⁷, դրական

զ) ((−3)³)⁵, բացասական

է) ((−7) ⋅ (−9))², դրական

ը) ((−4) ⋅ (−6))²: դրական

3․ Հաշվե՛ք արտահայտության արժեքը, երբ x = 4 և x = −5․

ա) x2−6x^2 — 6×2−6 → 4^2-6=10, (-5)^2-6=19 → 10, 19
բ) x3x^3×3 → 4^3=64, (-5)^3=-125 → 64, -125
գ) x3−200x^3-200×3−200 → 64-200=-136, -125-200=-325 → -136, -325
դ) x+3!x+3!x+3! → 3!=6 → 4+6=10, -5+6=1 → 10, 1
ե) x2+xx^2+xx2+x → 16+4=20, 25-5=20 → 20, 20
զ) (x+5)(x−5)(x+5)(x-5)(x+5)(x−5) → (9)(-1)=-9, (0)(-10)=0 → -9, 0
է) (x+2)(x+4)(x+2)(x+4)(x+2)(x+4) → (6)(8)=48, (-3)(-1)=3 → 48, 3

4․ Պարզե՛ք արտադրյալի նշանը․
ա) (−1) ⋅ (−2) ⋅ …⋅ (−20), դրական

բ) (−1) ⋅ (−3) ⋅ (−5) ⋅ …⋅ (−15) դրական

5. Գտնել A և B բազմությունների միավորումն ու հատումը.
ա) A = [−3, 5), B = (1, 8), բ) A = [4, 9], B = (6, 8), գ) A = [1, 4] ∪ [6, 9], B = (2, 7),
դ) A = (1, 3) ∪ {5}, B = [3, 5), ե) A = {1, 3, 5, 6}, B = [3, 5), զ) A = (−∞, 4), B = [4, +∞):

ա) A=[−3,5),B=(1,8)A=[-3,5), B=(1,8)A=[−3,5),B=(1,8)

Միավորում → [−3,8)[-3,8)[−3,8)

Հատում → (1,5)(1,5)(1,5)

բ) A=[4,9],B=[6,8]A=[4,9], B=[6,8]A=[4,9],B=[6,8]

Միավորում → [4,9]

Հատում → [6,8]

գ) A=[1,4]∪[6,9],B=(2,7)A=[1,4] ∪ [6,9], B=(2,7)A=[1,4]∪[6,9],B=(2,7)

Միավորում → [1,9]

Հատում → (2,4] ∪ [6,7)

դ) A=(1,3)∪5,B=[3,5)A=(1,3) ∪ {5}, B=[3,5)A=(1,3)∪5,B=[3,5)

Միավորում → (1,5]

Հատում → ∅

ե) A=1,3,5,6,B=[3,5)A={1,3,5,6}, B=[3,5)A=1,3,5,6,B=[3,5)

Միավորում → {1,3,5,6} ∪ [3,5) = [3,5) ∪ {1,6}

Հատում → {3}

զ) A=(−∞,4),B=[4,+∞)A=(-∞,4), B=[4,+∞)A=(−∞,4),B=[4,+∞)

Միավորում → (-∞,+∞)

Հատում → ∅

Կրկնողություն

1․ Նշեք չորս թիվ, որոնք լինեն՝ ա) բնական, բ)բացասական, գ) ամբողջ, դ) զույգ

Ա)3 Բ)-5 Գ)0 Դ)8

2․ Գտնել  տրված արտահայտության արժեքը՝ 

ա) n⁻⁷⋅ n⁻³  = −6n−3

բ) a^-5 ։ a⁶ =a−5:a6=−5+61​=−29/6​≈−4,833

գ) b^-8 ⋅ b⁹  = b−72 (b=1) → -71

դ) m^-6 ⋅ m⁶ = m−36 (m=6) → -30

3․ Տրված թվերը կլորացնելով 0,1 ճշտությամբ` գտնել նրանց մոտավոր գումարը.

ա) 3,2878 + 0,1235= 3,4

բ) 0,10011… + 0,243= 0,3

գ) -1,236 + 2,555= 1,4

4․ Նշել մի որևէ թիվ, որը գտնվում է տրված թվերի միջև  

ա) a=1,16 b=1,17 = 1,165

բ) a=6,57 b=6,(57) = 6,572

5․ 7-ից մինչև 268 բնական թվերի մեջ 15-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա։

17

6․ Գտնել 24-ի պարզ բաժանարների քանակը։

24-1,2,3,4,6,8,24:

7․ Գտնել 35-ի բոլոր բաժանարարների գումարը։

35-1,3,4,6,8,35:

Առաջադրանքներ։

1․ Տրված է y=|8x| ֆունկցիան: Գտնել

ա) y -ի արժեքը, եթե x=4; բ) x -ի արժեքը, եթե y=24

y = |8x|

ա) x = 4 → y = |8 * 4| = 32 բ) y = 24 → 8x = 24 → x = 3 կամ x = -3

2․ Որոշել, թե ո՞ր քառորդներում է գտնվում y=|145x| ֆունկցիայի գրաֆիկը:

ա) 1-ին և 4 -րդ քառորդներում բ) 1-ին և 3 -րդ քառորդներում

գ) 2-րդ և 3 -րդ քառորդներում դ) 1-ին և 2 -րդ քառորդներում

y = |145x| → 1-ին և 2-րդ քառորդներում Պատ․՝ դ

3․ Տրված է y=−10|x| ֆունկցիան: Գտնել f(5) -ը:

y = -10|x| → f(5) = -10 * |5| = -50

4․ y=|ax| ֆունկցիայի գրաֆիկն անցնում է այս կետով՝ (−10;40): Գտնել a -ն, եթե հայտնի է, որ այն դրական թիվ է:

y = |ax| (−10; 40) կետով անցնելիս → 40 = |a * -10| → a = 4

5․ Տրված է y=|x| ֆունկցիան: Ընտրիր ճիշտ տարբերակը:

1.Ֆունկցիան սահմանափակ է և՛ վերևից, և՛ ներքևից:

2.Ֆունկցիան սահմանափակ չէ ոչ վերևից, ոչ էլ ներքևից:

3.Ֆունկցիան սահմանափակ չէ վերևից, բայց սահմանափակ է ներքևից:

y = |x| → վերևից սահմանափակ չէ, ներքևից սահմանափակ է (y ≥ 0)

6․ Արդյո՞ք   A(-2;16) և B(7;9) կետերը պատկանում են  y=8|x|  ֆունկցիայի գրաֆիկին:

y = 8|x| A(-2; 16) → պատկանում է B(7; 9) → չի պատկանում

7․ Ֆունկցիան տրված է f(x)=3|x| բանաձևով: Հաշվել f(11)+f(−5)։

f(x) = 3|x| f(11) + f(−5) = 33 + 15 = 48

8․ Կառուցել  ֆունկցիաների գրաֆիկները: 

ա) y=2|x| բ) y=-3|x| գ) y=1,5|x| դ) y=|x+4| ե) y=2|x-3|

ա) y = 2|x| բ) y = -3|x| գ) y = 1.5|x| դ) y = |x + 4| ե) y = 2|x — 3|

1․ Լուծել խնդիրը․

10 թիվը ներկայացնել երկու գումարելիների տեսքով այնպես, որ այդ գումարելիների արտադրյալըհավասար լինի 21։ Գտնել գումարելիները։

x*(10-x)=21

10x-x²-21=0

x²-10x+21=0

D=10²-3*21=100-84=16. √16=4

x1=10-4/2=3

x2=10+4/2=7

Պատ. 3;7

2․ Լուծել խնդիրները քառակուսային հավասարումների օգնությամբ։

ա) Երկու հաջորդական բնական թվերի արտադրյալը 110 է։ Գտնել այդ թվերը։

x. x+1

x*(x+1)=110

x²+x=110

x²+x-110=0

D=1²+4*1*110=440

440+1=441

√441=21

x1=-1-21/2=-11

x2=-1+21/2=10

10+1=11

բ) Երկու իրար հաջորդող բնական թվերի արտադրյալը 210 է։ Գտնել այդ թվերը։

x*(x+1)=210

x²+x=210

x²+x-210=0

D=1²-4*1*210=840

840+1=841

√841=29

x1=-1-29/2=-15

x2=-1+29/2=13.5

գ) Բնական թվերից մեկը մեծ է մյուսից 7-ով, իսկ նրանց արտադրյալը հավասար է 44։ Գտնել այդ թվերը։

x(x+7)=44

x²+7x=44

x²+7x−44=0

D=7²-4*-44=49-(-176)=225

√225=15

x=-7+15​/2=8/2​=4

x=-7-15/2=-22/2=-11

4 և 11

դ) Բնական թվերից մեկը փոքր է մյուսից 12-ով, իսկ նրանց արտադրյալը 448 է։ Գտնել այդ թվերը։

x(x-12)=448

x²-12x=448

x²-12x-448=0

D=12²-4*-448=144-(-1792)=√1936=44

x=-12+44/2=32/2=16. 16+12=28

16 և 28

3․ Լուծել խնդիրները․

ա) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը 20 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 218։

x+y=20

x²+y²=218

x²+y²=(x+y)²−2xy

218=20²−2xy. 218=400−2xy

2xy=400−218=182. xy=91

x²−20x+91=0

D=20²-4*91=400-364=36

20+√36. 20+6/2=13.

13և7

բ) Գտնել երկու թվեր, որոնց գումարը -2 է, իսկ քառակուսիների գումարը՝ 34։

x²+y²=(x+y)²−2xy=(−2)²4−2xy=4−2xy

34=4−2xy. 2xy=4−34=−30⇒xy=−15

x2+2x−15=0

D=2²-4*-15=4-(-60)=√64=8

-2+8/2. x=3. x=-5

1․Պարզել՝ հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտնել նրանց գումարը և արտադրյալը)

ա)a=1 b=1 c=1. D=b²-4ac. D=-1²-4*1*1. D=1-4. D=-3. -3<0

բ) a=1 b=1 c=3. D=b²-4ac. D=1²-4*1*3. D=1-12. D=-11. -11<0

գ)a=1. b=3 c=2. D=3²-4*1*2 D=9-8. D=1. 1>0. x1+x2=(-3)/1=-3 x1*x2=2/1=2

դ)a=1 b=-3 c=2. D=-3²-4*1*2 D=9-8. D=1. 1>0. x1+x2=-(-3)/1=3. x1*x2=2/1=2

ե)a=1 b=-2 c=1. D=-2²-4*1*1. D=4-4. D=0. x=-(-2)/2*1=2/2=1. 1+1=2. 1*1=1

զ)a=1 b=4 c=4. D=4²-4*1*4. D=16-16. D=0. x=-(4)/2*1=-(4)/2=-2. -2+-2=-4. -2*-2=4

2․ Կազմել բերված քառակուսային հավասարում, եթե հայտնի են նրա արմատների L գումարը և K արտադրյալը

ա)x²-(x1+x2)x+x1*x2=0. x²-3x-28=0

բ)x²+3x-18=0

գ)x²+3,5x+2,5=0

դ)x²-5/6x+1/6=0

ե)x²-9=0

զ)x²-4x+4=0

3․ Կազմել բերված տեսքի քառակուսային հավասարում, եթե հայտի են նրա արմատները․

ա)x²-(x1+x2)x+x1*x2=0. 1+5=6. 1*5=5. x²-6x+5=0

բ)-2+3=1. -2*3=-6. x²-1x-6=0

գ)4+6=10. 4*6=24. x²-10x+24=0

դ)-3+-6=-9. -3*-6=18. x²+9x+18=0

ե)0,5+4=4,5. 0,5*4=2. x²-4,5x+2=0

զ)1,2+-5=-3,8. 1,2*-5=-6. x²+3,8x-6=0

է)1+-1=0. 1*-1=-1. x²-1=0

ը)5+5=10. 5*5=25. x²-10x+25=0

4․ Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա)a=1 b=-6 c=8. x1+x2=-(-6)/1=6. x1*x2=8/1=8. 2+4=6. 2*4=8. x1=2 x2=4

բ)a=1 b=5 c=6. x1+x2=-(5)/1=-5. x1*x2=6/1=6. -2+-3=-5. -2*-3=6. x1=-2. x2=-3

գ)a=1. b=-1. c=-2. x1+x2=-(-1)/1=1. x1*x2=-2/1=-2. 2+-1=1. 2*-1=-2. x1=2. x2=-1

դ)a=1 b=1 c=-6. x1+x2=-(1)/1=-1. x1*x2=-6/1=-6. x1​=2. x2​=−3

5․Լուծել հավասարումներն ըստ Վիետի թեորեմի․

ա)a=1 b=-2 c=-15. x1+x2=-(-2)/1=2. x1*x2=-15/1=-15. x1​=5. x2​=−3

բ)a=1 b=10 c=9. x1+x2=-(10)/1=-10. x1*x2=9/1=9. x1​=−1. x2​=−9

գ)a=1 b=2 c=−8 x1+x2=-(2)/1=-2. x1*x2=-8/1=-8. x1​=2. x2​=−4

դ)a=1 b=-12 c=35. x1+x2=-(-12)/1=12. x1*x2=35/1=35. x1=5. x2=7

Գիտելիքների ստուգում:

1.

2.

3.

4.

110 թիվը չի կարելի պարզեցնել։

5.

6.

1․ Լուծել հավասարումները․

2x(x+3)=0. 2x=0. x=0 x+3=0. x=0-3. x=-3

D=4²-4*4*1. 16-16. D=0. -(4)+√0/2*4=4/8. 1/2=0.5. X=0.5

3x²=0+12. 3x²=12. 12/3=4. x²=4. x=2

D=-5²-4*1*6. 25-24. D=1. x1=-(-5)+√1/2*1. x2=-(-5)-√1/2*1. x1=5+1/2*1=6/2=3*1=3. x2=5-1/2*1=4/2=2*1=2

D=3²-4*6*1. 9-24=-15. -15<0. լուծում չունի

D=14²-4*5*-3. 196+60=256. x1=-(-14)+√256/2*. x2=-(-14)-√256/2*. x1=-14+16/2*5=-14+16/10=2/10=1/5 x2=-14-16/10=-30/10=-3

2․Լուծել հավասարումները․

x₁ = 0,5, x₂ = 1,5
x₁ = -1/3, x₂ = 5/3
x₁ = 1/2, x₂ = 3
x₁ = -1, x₂ = 3/4
x₁ = 4.5, x₂ = 0.5
x₁ = 0.187, x₂ = 1.187
x₁ = 1/2 + √3/2 i, x₂ = 1/2 — √3/2
x₁ = -3/2 + 3√3/2 i, x₂ = -3/2 — 3√3/2

3․ Լուծել հավասարումները․

D=5²-4*2*3=25-24=1. x1=-(-5)+√1/2*2=5+1/4=6/4=3/2. x2=-(-5)-√1/2*2=5-1/4=4/4=1

D=6²-4*1*9=36-36=0. x1=-(-6)+√0/2*1=6+0/2=6/2=3/1=3

D=3²-4*1*-4. 9-(-16)=25. x1=-(-3)+√25/2*1=3+5/2*1=8/2=4/1. x2=-(-3)-√25/2*1=3-5/2*1=-2/2=-1

D=7²-4*5*3=49-60=-11. լուծում չունի

D=8²-4*0.5*-18=64-(-36)=100. x1=-(-8)+√100/2*0.5=8+10/1=18/1=18. x2=-(-8)-√100/2*0.5=8-10/1=-2/1=-2

4․ Լուծել հավասարումները․

x₁ = 3/2, x₂ = 3
x₁ = -3, x₂ = -2/3
x₁ = -4/3, x₂ = 1
x₁ = -5/2, x₂ = 2

1․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում քառակուսային։

ax²+bx+c=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն տրված թվեր են, և a≠0, անվանում են քառակուսային (քառակուսի) հավասարում:

2․ Ինչպե՞ս են հաշվում քառակուսային հավասարման տարբերիչը։

D=b²−4ac թիվն անվանում են ax²+bx+c=0  քառակուսային  հավասարման  տարբերիչ  կամ՝  դիսկրիմինանտ:

3․ Ո՞ր հավասարումն է կոչվում թերի քառակուսային։

Քառակուսային հավասարումը կոչվում է թերի, եթե b և c թվերից գոնե մեկը հավասար է զրոյի:

4․ Կազմել ax²+bx+c=0 քառակուսային հավասարում, եթե նրա գործակիցները հավասար են․

ա)3x²+4x+5=0

բ)3x²+(-2x)+6=0

գ)1x²+(-1)+2=0

դ)-1x²+3x+(-2)=0

5․ Հաշվել քառակուսային հավասարման տարբերիչը․

ա)D=3²+4*2*5=9+40=49

բ)D=5²+4*1*1=25+4=29

գ)D=6²+4*9*1=36+36=72

դ)D=1²+4*1*1=1+4=5

6․ Ստուգել՝ 0 թիվը հավասարման արմա՞տ է․

ա)այո

բ)ոչ

գ)ոչ

դ)ոչ

ե)այո

զ)ոչ

Լուծել հավասարումները․

ա)3x²-3=0 3x²=3. x²=1. x=1

բ)x²=0. x=0

գ)x=0. x=1

դ)x=0. x+3=0. x=0-3. x=-3

ե)x-3=0. x=0+3. x=3. x+2=0. x=0-2. x=-2

զ)x+5=0 x=0-5. x=-5. x-7=0 x=0+7. x=7

է)3x=0. x=0. x-0.5=0. x=0+0.5. x=0.5

ը)0.5x=0. x=0. 2+x=0 x=0-2. x=-2

թ)x-8=0 x=0+8. x=8. 5+x=0. x=0-5. x=-5

ժ)x+1=0. x=0-1 x=-1. x-4=0. x=0+4. x=4

7․ Լուծել հավասարումները․

ա)x(x-4). x=0. x-4=0. x=0+4 x=4

բ)x(x+6) x=0. x+6=0. x=0-6. x=-6

գ)x(3x+1)=0. x=0. 3x+1=0. x=0-1-3. x=-4

դ)x(x-0.5) x=0. x-0.5=0. x=0+0.5. x=0.5

ե)x(3x+2)=0 x=0. 3x+2=0. x+2=0 x=0-2. x=-2

զ)-x=0. x=0

է)7x²-5x=0. x(7x-5)=0. x=0. 7x-5=0. x-5=0. x=0+5. x=5

ը)3x-11x²=0. x(11x-3)=0. x=0. 11x-3=x. x-3=0. x=0+3. x=3

թ)x(1/2x-3)=0. x=0. 1/2x-3=0. 1/2x=0+3. 1/2x=3. x=6

8․ Լուծել հավասարումները․

ա)x²-3=0. x²=0+3. x²=3 x=√3

բ)x²-5=0. x²=0+5. x²=5. x=√5

գ)1/3x²-1=0. 1/3x²=0+1. 1.3x²=1. x²=3. x=√3

դ)1/5x²-10=0. 1/5x²=0+10. 1/5x²=10. x²=50. x=√50

ե)4x²-3=0. 4x²=0+3. 4x²=3. x²=4/3. x=√4/3

զ)5x²+2=0. 5x²=0-2. 5x²=-2. x²=-2/5. x-=√-2/5

է)x²=2304. x=48

ը)x²-31,36=0. x²=0+31,36. x²=31,36. x=√31,36

թ)0,001x²=40. x²=40/0,001. x²=40000. x=200