Խնդիր 1.
Տղան ունի 100 մոմ: Ամեն օր նա վառում է 1 մոմ:
Յոթ թերայրված մոմից նա պատրաստում է 1 լրացուցիչ մոմ:
Կանխատեսենք, թե քանի օր նա կարող է անցկացնել առանց նոր մոմեր գնելու:
- Նախնական 100 մոմով նա կապրի 100 օր:
- Այս ընթացքում նա կունենա 100 թերայրված մոմ, որից պատրաստում է 100 / 7 ≈ 14 լրացուցիչ մոմ (մնացորդ՝ 2 թերայրված մոմ):
- Այս 14 մոմերը վառելով՝ նա կունենա 14 թերայրված մոմ, որոնցից կարող է պատրաստել 2 լրացուցիչ մոմ:
- Այս 2 մոմերն էլ վառելով՝ նա կունենա 2 թերայրված մոմ, սակայն այդ 2-ը բավարար չեն մեկ լրացուցիչ մոմ պատրաստելու համար:
Ընդհանուր օրերի քանակը՝
100 + 14 + 2 = 116 օր:
Պատասխան՝ 116 օր:
Խնդիր 2.
Թուփն ունի 10 ճյուղ: Յուրաքանչյուր ճյուղում կա կամ 5 տերև, կամ 2 տերև և 1 ծաղիկ:
Եթե xx ճյուղում կա 5 տերև, իսկ yy ճյուղում՝ 2 տերև, ապա
x+y=10x + y = 10.
Տերևների ընդհանուր քանակը կլինի՝
5x+2y5x + 2y.
Փոխարինենք y=10−xy = 10 — x և ստանանք՝ Տերևներիքանակ=5x+2(10−x)=5x+20−2x=3x+20Տերևների քանակ = 5x + 2(10 — x) = 5x + 20 — 2x = 3x + 20
Նայենք տարբեր արժեքներին՝
- x=0x = 0: 3(0)+20=203(0) + 20 = 20
- x=1x = 1: 3(1)+20=233(1) + 20 = 23
- x=2x = 2: 3(2)+20=263(2) + 20 = 26
- x=3x = 3: 3(3)+20=293(3) + 20 = 29
- x=4x = 4: 3(4)+20=323(4) + 20 = 32
- x=5x = 5: 3(5)+20=353(5) + 20 = 35
- x=6x = 6: 3(6)+20=383(6) + 20 = 38
- x=7x = 7: 3(7)+20=413(7) + 20 = 41
- x=8x = 8: 3(8)+20=443(8) + 20 = 44
- x=9x = 9: 3(9)+20=473(9) + 20 = 47
- x=10x = 10: 3(10)+20=503(10) + 20 = 50
Տրված թվերից 39-ն է միակ համընկնողը:
Պատասխան՝ 39:
Խնդիր 3.
Սեդան 2015 թիվը բաժանում է 1-ից 1000-ի վրա:
Մեզ հետաքրքրում է մնացորդներից ամենամեծը:
- Երբ բաժանիչը 1 է՝ մնացորդը 0:
- Երբ բաժանիչը 2 է՝ մնացորդը 1:
- Երբ բաժանիչը 3 է՝ մնացորդը 2:
- Երբ բաժանիչը 4 է՝ մնացորդը 3:
…
1000-ի համար մնացորդը կլինի 2015mod 1000=152015 \mod 1000 = 15.
Ամենամեծ մնացորդը կարող է լինել բաժանիչից 1-ով պակաս, այսինքն՝ 999:
2015-ի համար դա կլինի, երբ բաժանիչը 1000 է:
Պատասխան՝ 999:
Խնդիր 4.
Պետրոսը գումարեց 5 քարտի յուրաքանչյուր զույգի արժեքները և ստացավ 3 թիվ՝ 57, 70, 83:
Եթե 5 քարտերից յուրաքանչյուրի արժեքը a,b,c,d,ea, b, c, d, e է, ապա
գումարները ներկայացնենք՝
a+b,a+c,a+d,a+e,b+c,b+d,b+e,c+d,c+e,d+ea + b, a + c, a + d, a + e, b + c, b + d, b + e, c + d, c + e, d + e.
Սակայն տրված է միայն 3 տարբեր գումար:
Այսինքն՝ կարելի է եզրակացնել, որ գոյություն ունեն միայն 3 տարբեր զույգային գումարներ:
Հնարավոր զույգերի գումարներն են՝
57, 70, 83:
Ենթադրենք, որ ամենափոքր գումարով զույգը 57 է, միջինը՝ 70, իսկ ամենամեծը՝ 83:
Արդյունքում, ամենամեծ թվի արժեքը կլինի 83÷2=41.583 \div 2 = 41.5, ինչը անհնար է, քանի որ քարտերի արժեքները բնական թվեր են:
Ուստի պետք է նայել այլ զույգերի համադրություններ:
Եթե վերցնենք a+b=57a + b = 57, a+c=70a + c = 70, a+d=83a + d = 83, ապա
առաջին քարտի արժեքը՝ a=57−ba = 57 — b,
երկրորդ քարտի արժեքը՝ bb,
երրորդ քարտի արժեքը՝ c=70−(57−b)=13+bc = 70 — (57 — b) = 13 + b,
չորրորդ քարտի արժեքը՝ d=83−(57−b)=26+bd = 83 — (57 — b) = 26 + b.
Այսպիսով, ամենամեծ արժեքը կլինի 26+b26 + b, իսկ bb-ն բնական թիվ է, ուստի ամենամեծ թիվը կլինի 26 + b:
Եթե b=1b = 1, ապա ամենամեծ թիվը 27 է, իսկ եթե b=2b = 2, ապա ամենամեծ թիվը 28 է:
Պատասխան՝ 28:
Կփորձեմ լուծել խնդիրները հերթականությամբ։ Սկսեմ առաջինից։
Խնդիր 1.
Ռեգբիի թիմը 2022 թվականի մրցաշրջանի յոթերորդ, ութերորդ և իններորդ խաղերում վաստակել է 24, 17 և 25 միավոր։ Թիմի միջին միավորները մեկ խաղում, 9 խաղերից հետո, ավելի բարձր էին, քան առաջին 6 խաղերից հետո: Նրանց միջինը 10 խաղից հետո 22-ից ավելի էր: Ո՞րն է միավորների այն նվազագույն քանակը, որ թիմը կարող էր վաստակել իր 10-րդ խաղում:
Լուծում.
- Առաջին 6 խաղերի միջինը լինի AA, 7-9 խաղերի համար՝ 24,17,2524, 17, 25:
- Առաջին 6 խաղերի ընդհանուր միավորները՝ 6A6A
- 7-9 խաղերի ընդհանուր միավորները՝ 24+17+25=6624 + 17 + 25 = 66
- 9 խաղերի ընդհանուր միավորները՝ 6A+666A + 66
- 9 խաղերի միջինն ավելի բարձր է, քան առաջին 6 խաղերի միջինը: 6A+669>A\frac{6A + 66}{9} > A 6A+66>9A ⟹ 66>3A ⟹ A<226A + 66 > 9A \implies 66 > 3A \implies A < 22 Առաջին 6 խաղերի միջինը պետք է լինի 21 կամ ավելի քիչ։
- 10 խաղերից հետո միջինը 22-ից բարձր է: 6A+66+x10>22\frac{6A + 66 + x}{10} > 22 6A+66+x>2206A + 66 + x > 220 x>220−6A−66x > 220 — 6A — 66 x>154−6Ax > 154 — 6A Քանի որ A≤21A \leq 21, ապա 6A≤1266A \leq 126: x>154−126x > 154 — 126 x>28x > 28
Պատասխան: 29 միավոր։
Խնդիր 2.
Նախ պայմանները.
- Արմենը ունի վեց հաջորդական թվեր։
- Առաջին նետման ժամանակ տեսնում է 6, 7, 8 թվերը։
- Երկրորդ նետման ժամանակ տեսած թվերի գումարը 23 է։
- Երրորդ նետման ժամանակ տեսած թվերի գումարը 17 է։
Լուծում.
- Քանի որ թվերը հաջորդական են, կարելի է դրանք նշանակել այսպես՝ x,x+1,x+2,x+3,x+4,x+5x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5։
- Առաջին նետման ժամանակ Արմենը տեսնում է 6, 7, 8:
- Այսինքն, երեք թվերից երկուսն են միևնույն ժամանակ տեսանելի։
- Այսպիսով, ենթադրենք, որ այս թվերն են x,x+1,x+2x, x+1, x+2։
- Երկրորդ նետման ժամանակ թվերի գումարը 23 է։
- Կարծես թե, Արմենը տեսել է երեք այլ թվեր։
- Եթե առաջին երեք թվերն են 6, 7, 8, ապա մնացած երեքը կլինեն 9, 10, 11։
- 9+10+11=309 + 10 + 11 = 30, բայց մեր պայմանի համաձայն՝ գումարը 23 է։
- Հետևաբար, մեր ենթադրությունը սխալ է։
- Փորձենք այլ մոտեցում։
- Թվերը կարող ենք դիտարկել որպես 6, 7, 8, 9, 10, 11։
- Առաջին նետման ժամանակ տեսնում է 6,7,86, 7, 8։
- Երկրորդ նետման ժամանակ տեսնում է 7,8,97, 8, 9, որի գումարը 23 է։
- Երրորդ նետման ժամանակ տեսնում է 6,10,116, 10, 11, որի գումարը 17 է։
- Հիմա պետք է գտնել մնացած երեք թվերի գումարը։
- Մնացած երեք թվերն են 9,10,119, 10, 11։
- Այս թվերի գումարը կլինի՝
Պատասխան: 30։
Խնդիր 3.
Պայմանները.
- Բաբկենը գրել է միայն 7 թվանշանով կազմված թվեր և ստացել է 1015։
- Նա 7-ն օգտագործել է 10 անգամ։
- Այժմ ուզում է գրել 2023 թիվը՝ օգտագործելով 7-ն ընդամենը 19 անգամ։
- Քանի՞ անգամ նա կօգտագործի 77 թիվը։
Լուծում.
- 1015-ի դեպքում.
- Բաբկենը օգտագործել է 7-ն 10 անգամ։ Այսինքն՝ 7 թվերից կազմված թվեր են։
- Օրինակ՝ 7, 77, 777, 7777 և այլն։
- Մեզ պետք է հասկանալ, թե ինչպես կազմվել է 1015-ը՝ օգտագործելով 7-ներ։
- Փորձենք կազմել 1015-ը.
- 77 × 13 = 1001
- 7 × 2 = 14
- 1001 + 14 = 1015
- Այսինքն՝ 77-ը օգտագործվել է 13 անգամ։
- 2023-ի դեպքում.
- Այժմ պետք է կազմենք 2023-ը՝ օգտագործելով 7-ն 19 անգամ։
- Կարող ենք օգտագործել 77-ը՝ քանի որ այն մեծ թիվ է և քիչ 7-ներ է պահանջում։
Կազմենք 2023-ը՝ օգտագործելով 77-ներ.
- 77 × 26 = 2002
- 7 × 3 = 21
- 2002 + 21 = 2023
Որքա՞ն անգամ օգտագործվեց 77-ը.
- 26 անգամ։
Պատասխան: 26 անգամ։
Խնդիր 4.
Պայմանները.
- Երեք տներում ապրում են մկներ։
- Ամեն մի մուկ դուրս է եկել իր տնից և շարժվել դեպի մյուս երկու տներից մեկը՝ ամենակարճ ճանապարհով։
- Նկարում նշված են թվերը, որոնք ցույց են տալիս մկների քանակը երեկ և այսօր։
Լուծում.
- Նշենք տները A,B,CA, B, C։
- Երեկվա մկների քանակը՝ a,b,ca, b, c
- Այսօրվա մկների քանակը՝ a′,b′,c′a’, b’, c’
- Մենք պետք է հաշվենք այն մկների քանակը, որոնք շարժվել են սլաքի ուղղությամբ։
- Եթե AA տանից BB տուն գնաց xx մուկ, ապա AA-ում մկների քանակը կնվազի xx-ով, իսկ BB-ում կմեծանա xx-ով։
- Կազմենք հավասարումներ՝ ելնելով տվյալներից։
- Նկարում տրված թվերը հաշվի առնելով, կարելի է գտնել, թե քանի մուկ շարժվեց սլաքի ուղղությամբ։
Ենթադրենք, որ xx մուկ շարժվեց AA տանից BB տուն, yy մուկ՝ BB-ից CC տուն և zz մուկ՝ CC-ից AA տուն։
- Հաշվի առնելով սլաքների ուղղությունները, կարելի է գտնել x,y,zx, y, z-ի արժեքները։
Եթե առկա լիներ նկարը, կարող էի կոնկրետ թվերով ցույց տալ։ Հիմա ընդհանուր դեպքում, առանց կոնկրետ թվերի, այսքանն է։
Պատասխան: Սլաքի ուղղությամբ շարժված մկների քանակը կգտնվի՝ դիտարկելով փոփոխությունները երեք տներում։
Խնդիր 5.
Պայմանները.
- Մարտինը կանգնած է հերթում, որում գտնվողների թիվը 3-ի բազմապատիկ է։
- Նրա դիմաց կա այնքան մարդ, որքան հետևում։
- Նա տեսնում է երկու ընկերոջ՝ 19-րդը և 28-րդը։
Լուծում.
- Քանի որ Մարտինի դիմաց կա այնքան մարդ, որքան հետևում, նշանակում է՝
- Մարտինը կանգնած է հերթի կենտրոնում։
- Հերթի ընդհանուր մարդկանց քանակը պետք է լինի կենտ թիվ։
- Քանի որ հերթում մարդկանց քանակը 3-ի բազմապատիկ է, ամենակարճ նման կենտ թիվը կլինի 33։
- Մարտինը կանգնած է 17-րդ տեղում։
- Իր դիմաց 16 մարդ կա, իսկ հետևում՝ 16 մարդ։
- 19-րդն ու 28-րդը՝ երկուսն էլ Մարտինից հետո են, ինչը համապատասխանում է 17-րդ դիրքին։
Պատասխան: Մարտինը կանգնած է 17-րդ դիրքում։
Խնդիր 6.
Պայմանները.
- Կա 3 կուղբ, և ոչ մի երկու կուղբ չեն կանգնած կողք կողքի։
- Կա ճիշտ 3 կենգուրու, որոնք կանգնած են կողք կողքի։
- Պետք է գտնել կենգուրուների ամենամեծ հնարավոր քանակը։
Լուծում.
- Ենթադրենք, որ կա nn կենգուրու և 3 կուղբ։
- Կուղբերը կանգնած են այնպես, որ իրար չեն կպնում։
- Կենգուրուները կանգնած են միավորված խմբերով։
- Եթե 3 կենգուրուները միասին կանգնած են, մնացածը կարող են տեղադրվել այնպես, որ խուսափեն կուղբերից։
- Առավելագույն կենգուրուների քանակը կլինի, երբ մնացած տեղերը լցվեն կենգուրուներով։
- Եթե կուղբերը կանգնած են K1,K2,K3K_1, K_2, K_3 դիրքերում, ապա կենգուրուները կարող են կանգնել n−3n — 3 դիրքերում։
- Այսպիսով, 3 կենգուրուները միավորվելով զբաղեցնում են 1 տեղ, և մնացած n−3n — 3 դիրքերում կարող են կանգնել մնացած կենգուրուները։
- Այսպիսով, հնարավոր առավելագույն կենգուրուների քանակը կլինի՝ n−3+3=nn — 3 + 3 = n։
Պատասխան: Կենգուրուների ամենամեծ հնարավոր քանակը կստացվի nn-ի հաշվարկից՝ ելնելով նրանից, թե ինչքան տեղ կա։
Ալեքս Մելիքյանի բլոգ 