Թեմա՝ Պարաբոլի տեղաշարժերը

f(x) = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը աջ/ձախ և վերև/ներքև տեղաշարժելով ու y-ների առանցքների երկայնքով ձգելով՝ կստանանք տարբեր ֆունկցիաների գրաֆիկներ։ Այս դասին ուսումնասիրենք այդ ձևափոխությունները։

1) f(x) = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը 3 միավորով աջ տեղաշարժելով՝ կստանանք f(x−3) = (x−3)² ֆունկցիայի գրաֆիկը: Այն (3, 0) գագաթով պարաբոլ է ։
y = (x − x ₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը (x₀, 0) գագաթով պարաբոլ է։
2) f(x) = (x − x₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով a անգամ ձգելով՝ կստանանք y = a(x − x₀)² ֆունկցիայի գրաֆիկը։
3) f(x) = 2 (x − 3)² ֆունկցիայի գրաֆիկը 7 միավորով վերև տեղաշարժելով՝ կստանանք f(x) + 7 = 2(x − 3)²  + 7-ի գրաֆիկը։ Այս տեղաշարժիարդյունքում պարաբոլի գագաթը (3, 0) կետից կտեղափոխվի (3, 7) կետը։
Ամփոփենք. y = 2(x − 3)²  + 7 ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքով 2 անգամ ձգած պարաբոլ է, որի գագաթը (3, 7) կետն է։

y= a(x − x₀) ² + y₀ ֆունկցիայի գրաֆիկը y-ների առանցքի երկայնքովa անգամ ձգած և (x₀, y₀) գագաթով պարաբոլ է։ Եթե a > 0, ապա պարաբոլի ճյուղերն ուղղված են վերև, իսկ a < 0 դեպքում ՝ ներքև: ( x₀;y₀) կոորդինատներով կետը կոչվում է պարաբոլի գագաթ։ 

Առաջադրանքներ։

1․ Գծել f(x) = x² պարաբոլը։ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x)-ի գրաֆիկը տեղափոխենք ա) 2 միավորով աջ, բ) 5 միավորով ձախ։

ա) 2 միավորով աջ տեղափոխելիս
y=(x−2)²

բ) 5 միավորով ձախ տեղափոխելիս
y=(x+5)²

2․ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x) = 3x² ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղափոխենք ա) 4
միավորով ձախ, բ) 1 միավորով աջ։

3․ Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժելով ա) 5 միավորով աջ, բ) 12 միավորով ձախ՝ ստացվել է y = x² պարաբոլը։ Գտնել f(x) ֆունկցիայի բանաձևը։

Ա)

Բ)

4․ Ո ՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե f(x) = x² պարաբոլը տեղափոխենք.
ա) 2 միավորով աջ և 4 միավորով ներքև,

բ) 5 միավորով ձախ և 1 միավորով վերև,

գ) 2 միավորով ներքև և 1 միավորով աջ,

դ) 3 միավորով ձախ և 5 միավորով ներքև։

Ա)

Բ)

Գ)

Դ)

5․ Պատկերե՛ք ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա) y = (x + 4) ², բ) y = (x − 1) ² − 3, գ) y = (x + 6) ²  + 8, դ) y = (x − 4) ²  + 7։
 Ա)

Բ)

Գ)

Դ)

6․ Գտնել հետևյալ պարաբոլի գագաթի կոորդինատները.
ա) y = 2(x − 4) ² , բ) y = x ² + 5, գ) y = (x + 3)² + 1, դ) y = 8(x -11)² - 20։

Ա)

գագաթ՝ (4, 0)

Բ)

գագաթ՝ (0, 5)

Գ)

գագաթ՝ (−3, 1)

Դ)

գագաթ՝ (11, −20)

7․ Պարզե՛ք պարաբոլի ճյուղերի ուղղությունը։ Դրանք հատվո՞ւմ են աբսցիսների առանցքի հետ.
ա) y = (x − 1) ² + 3, բ) y = − 2(x − 5) ² + 6, գ) y = √5(x + 3)² − 7,դ) y = − 7(x − 8) ² − 14, ե) y = 4 x² − 16, զ) y = − 3(x + 4) ² − 15:

Ա)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը չի հատում

Բ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը հատում է

Գ)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը հատում է

Դ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը չի հատում

Ե)

ճյուղերը՝ վերև
OX–ը հատում է

Զ)

ճյուղերը՝ ներքև
OX–ը չի հատում

Առաջադրանքներ։

1․ Ընտրել y=x² ֆունկցիային և նրա գրաֆիկին վերաբերվող հարցերի ճիշտ պատասխանը՝

 ա) Ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած բացասական արժեք:

բ) Ֆունկցիան ընդունում է միայն դրական արժեքներ:

գ) Ֆունկցիան ընդունում է ցանկացած ոչ բացասական արժեք:

2․ Տրված x-երի համար գտնել y-ի այնպիսի արժեք, որ (x, y) կետը լինի y = x² պարաբոլի վրա.

ա) x = 0, y = 0, բ) x = 3, y = 9, գ) x = − 4, y = 16, դ) x = 11, y = 121։

3․ Հայտնի է, որ (x, y) կետը պատկանում է y = x² պարաբոլին։ Գտնել y-ի տրված արժեքի համար
x-ի բոլոր հնարավոր արժեքները։ Քանի՞ այդպիսի x կա.
ա) y = 0, x = 0, բ) y = 25, x = 5, գ) y = 196, x = 14, դ) y = 2.89, x=2.89, ե) y = − 16, x = դատարկ բազմություն

4. Կոորդինատային հարթության վրա պատկերված է y = x² պարաբոլը։ Պարզել տրված կետի
դիրքը պարաբոլի նկատմամբ (գտնվում է պարաբոլից վերև, պատկանում է պարաբոլին, թե
պարաբոլից ներքև է).
ա) (1, 3)֊ վերև, բ) (4, 2) ներքև, գ) ( 2 /3 , 4/9 )պարաբոլի վրեն, դ) ( −3, 11)վերև, ե) (− 2 ,  4 )վրեն, զ) (2.5, 6)վերև, է) (1, 0)ներքև։
5․ Տրված է y = x² ֆունկցիան։ Ո ՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) 9, բ) 0, գ) 15, դ) − 25 արժեքը։

Չեմ հասկացել

6․ Կոորդինատային հարթության վրա նշված են A և B կետերն այնպես, որ A-ն առաջին քառորդում
է, B-ն՝ երկրորդ։ Քանի՞ կետում AB հատվածը կհատի y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը։ 2 Կետերում։
7․ Կոորդինատային հարթության վրա նշված են A և B կետերն այնպես, որ A-ն չորրորդ քառորդում
է, B-ն՝ երրորդում։ Քանի՞ կետում AB հատվածը կհատի y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Դիտարկել
բոլոր հնարավոր տարբերակները։

8․ Կոորդինատային հարթության սկզբնակետից տարբեր (a, b) կետը գտնվում է y = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա։ (− a, b), (a, − b), (−a, − b) կետերից ո՞րը կգտնվի այդ գրաֆիկի վրա։

Գրաֆիկի վրա գտնվող կետը (-a b)֊ն է։

9․ Առանց կառուցման պարզել, թե արդյո՞ք A (−2;4), B (4;14), C (5;25), D (-8;-64) կետերը պատկանում են  y=x² ֆունկցիայի գրաֆիկին:

A ֊ պատկանում է

B ֊ն չի պատկանում

C – Չի պատկանում

D – Չի պատկանում

1․ 6-ից մինչև 195 բնական թվերի մեջ 17-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա։

11

2․ 15-ից մինչև 248 բնական թվերի մեջ 14-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա։

16

3․ Գտնել 39-ի պարզ բաժանարարների քանակը։

2

4․ Գտնել 45-ի պարզ բաժանարարների քանակը։

2

5․ Գտնել 24-ի բոլոր բաժանարարների քանակը։

8

6․ Գտնել 75-ի բոլոր բաժանարարների քանակը։

6

7․ Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 5 է, քանորդը ՝ 6, իսկ մնացորդը՝ 4։

34

8․ Գտնել բաժանելին, եթե բաժանարարը 9 է, քանորդը ՝ 8, իսկ մնացորդը՝ 7։

79

9․ Գտնել 5 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

2

10․ Գտնել 7 հայտարարով բոլոր կանոնավոր կոտորակների գումարը։

3

11․ 64-ը բաժանել 3:5 հարաբերությամբ։

24 40

12․ 120-ը բաժանել 1:4 հարաբերությամբ։

24 96

13․ Լուծել հավասարումը․

ա) 2(x-7)=6 x=10

բ) 6(x+2)=-18 x=-5

գ ) 4(x-5)=2(x+2) x=12

դ) 6(x+8)=10(x+9) x=-10.5

14. Որդին 12 տարեկան է։ Վեց տարի առաջ նա 6 անգամ փոքր էր հորից։

ա) Քանի՞ տարեկան է հայրը։ 42  

բ) Քանի՞ տարի հետո հայրը որդուց մեծ կլինի 2 անգամ։ 18

15․ Բադերը և նապաստակները միասին ունեն 16 գլուխ և 44 ոտք։ Որքա՞ն բադ ու նապաստակ կա։

10 բադ 6 նապաստակ

5

Թեմա՝ у = af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։

у = af(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը, որտեղ a-ն դրական թիվ է, у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի սեղմում կամ ձգում օրդինատների առանցքի երկայնքով: Գրաֆիկի սեղմումը կամ ձգումը տեղի է ունենում a թվի արժեքից կախված:

Եթե a > 1, ապա գրաֆիկը ձգվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ հեռացնելով այն աբսցիսների առանցքից։ Եթե 0<a<1, ապա գրաֆիկը սեղմվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով՝ դեպի աբսցիսների առանցքը:

Նկար 1ա-ում պատկերված է y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Կոորդինատային նույն հարթության վրա փորձենք պատկերել y = 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: 3f(x) ֆունկցիայի արժեքն ինչ-որ կետում հաշվելու համար պետք է այդ կետում ֆունկցիայի արժեքը բազմապատկենք 3-ով։ Օրինակ՝ քանի որ f(2) = 4 ուստի 3f(x) ֆունկցիայի արժեքը 2 կետում հավասար է 3f(2) = 3 * 4 = 12։ ֆունկցիայի գրաֆիկը ստանալու համար կարող ենք f(x)-ի գրաֆիկը 3 անգամ ձգել y-ների առանցքի երկայնքով։ Նկար 1բ-ում կապույտով պատկերված է y = 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Նկար 1գ-ում կանաչով պատկերված է 0.4f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը. այս դեպքում ֆունկցիան սեղմվում է։

Ֆունկցիան զրոյից տարբեր a թվով բազմապատկելիս ֆունկցիայի զրոները չեն փոխվում:

Այժմ քննարկենք այն դեպքը, երբ a = — 1 ։ Պետք է կառուցենք y = −f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Նկարում պատկերված f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը (կարմիր գրաֆիկը) անցնում է A(2, 3) կետով, այսինքն՝ f(2) = 3։ Ուրեմն — f(x) ֆունկցիան կանցնի B(2, −3) կետով (քանի որ f(2) = — 3) ։ Կոորդինատային հարթության վրա B(2, −3) կետը A(2, 3) կետի համաչափն է x-երի առանցքի նկատմամբ: Նույն կերպով պետք է վարվենք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերի հետ: Այսինքն՝ — f(x)-ի գրաֆիկը f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի համաչափն է (շրջած) x-երի առանցքի նկատմամբ (կապույտ գրաֆիկը):

Առաջադրանքներ․

1․ Տրված f(x) ֆունկցիայի զրոները 3-ն ու 8-ն են: Գտե՛ք ա) −10f(x), բ) — 4f(x + 1) գ) -2/3 f(x – 4) ֆունկցիայի զրոները:

ա) −10f(x), x = 3, 8

բ) — 4f(x + 1) x = 2, 7

գ) -2/3 f(x – 4) x = 7, 12

2․ Տրված f(x) ֆունկցիան y-ների առանցքի երկայնքով ձգեցին 1.5 անգամ և իջեցրին 5 միավորով ներքև: Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց:

y=1.5 (x) -5

3․ Տրված է f(x) ֆունկցիան, որի արժեքների տիրույթը [0, 9] միջակայքն է։ Գտե՛ք ա) 4f(x), բ)5/6f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

ա) 4f(x), [0, 36]

բ)5/6f(x) → [0, 7.5]

4․ Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք 3f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Ա)(0, -3) → (0, -9)

Բ) ( -5, 2) → ( -5, 6)

Գ) (0, 3) → (0, 9)

5․ Տրված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք — f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Թեմա՝ у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով․

у=f(x+a) ֆունկցիայի գրաֆիկը у=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ աբսցիսների առանցքի ուղղությամբ:

— Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի աջ կամ դեպի ձախ) որոշվում է a թվի նշանով:

— Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a>0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի ձախ, իսկ եթե a<0, ապա՝ դեպի աջ: 

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ձախ: Ուրեմն, սա у=(x+3)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Այս նկարում կատարվում է у=x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երկու միավորով դեպի աջ: Ուրեմն, սա у=(x−2)² ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Ճիշտ է հետևյալ պնդումը:

1) y=f(x+a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ձախ:  

2) y=f(x−a), որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի աջ:

Առաջադրանքներ․

1․ y=f(x−166) ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y=f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժել 166 միավորով դեպի՝ 

վերև

ձախ

աջ

ներքև

2․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե y = 6x¹⁷ ֆունկցիայի գրաֆիկը Ox առանցքի ուղղությամբ տեղաշարժել 16 միավորով դեպի ձախ:

y = (x+16)¹⁷

3․ y=1/2(x−198)¹³ + 62 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է y = 1/2x¹³ ֆունկցիայի  գրաֆիկը տեղաշարժել 198 միավորով

x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ձախ

x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի աջ

y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վերև

y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ներքև

և  62 միավորով

ա)x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի աջ

բ)y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ներքև

գ)x-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի ձախ

դ)y-երի առանցքի ուղղությամբ դեպի վերև

4․ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը կստացվի, եթե  y=10x³ ֆունկցիայի գրաֆիկը Oy առանցքի ուղղությամբ 8 միավորով տեղաշարժվի դեպի վերև:

y = 10x³ + 8

5․ Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Գծե՛ք f(x — a) ֆունկցիայի գրաֆիկը.
ա)a = 3
բ)a = 2
գ)a = — 1
դ)a = 3
ե)a = — 2
զ)a = 4
է)a = -3
ը)a = -2

Ա․

Բ․

Գ․

Դ․

Ե․

Զ․

Է․

Ը․

6․ Նկարում պատկերված է f(x — 2) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Գծե՛ք f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը.

Ա․

Բ․

7․ Գտնել A ∩ B բազմությունը, եթե A = {1; 3; 6; 8}, B = {2; 6; 9}։

6

8․ Գտնել A ∩ B բազմությունը, եթե A = {1; 4; 6; 9}, B = {3; 6; 8}։

6

9․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {0; 2; 4; 6; 8}, B = { 1; 4; 6; 8}։

0, 1, 2, 4, 6, 8

10․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {0; 3; 6; 9}, B = {1; 2; 8}։

0, 1, 2, 3, 6, 8, 9

11․ Գտնել A U B բազմությունը, եթե A = {7}, B = {5; 6}։

5, 6, 7

Թեմա՝ Կրկնություն

1․ Նկարում պատկերված է f(x) + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք f(x) — 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը:

Ա)

Բ)

2․ Գտնել 20-ի 3/4 մասը։

15

3․ Գտնել 35-ի 4/5 մասը։

28

4․ Գտնել թիվը, եթե նրա 2/5 մասը 34 է։

85

5․ Գտի՛ր թիվը, եթե նրա 4/5 մասը 32 է։

40

6․ 0, 1, 2, 3 թվերից ո՞րը պետք է աջից կցագրենք 125 թվին, որպեսզի ստացված քառանիշ թիվը բաժանվի 3-ի։

1

7․ 0, 1, 5, 6 թվերից ո՞րը պետք է աջից կցագրենք 242 թվին, որպեսզի ստացված քառանիշ թիվը բաժանվի 3-ի։

1

8․ 1, 2, 5, 8 թվերից ո՞րը պետք է աջից կցագրենք 305 թվին, որպեսզի ստացված քառանիշ թիվը բաժանվի 3-ի։

1

9․ Երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը 42 է։ Ո՞րն է այդ թվերից փոքրը։

13

10․ Երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը 21 է։ Ո՞րն է այդ թվերից փոքրը։

6

11․ Երեք հաջորդական բնական թվերի գումարը 96 է։ Ո՞րն է այդ թվերից փոքրը։

31

12․ Գտնել 468 թվի թվանշանների միջին թվաբանականը։

6

13․ Գտնել 672 թվի թվանշանների միջին թվաբանականը։

5

14․ Գտնել 150 թվի թվանշանների միջին թվաբանականը։

2

Թեմա՝ Ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժումը։

у = f(x) + a ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցումը  у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով․

у = f(x) + a ֆունկցիայի գրաֆիկը у = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկի միջոցով կառուցելիս տեղի է ունենում գրաֆիկի տեղաշարժ օրդինատների առանցքի ուղղությամբ:

— Տեղաշարժի ուղղությունը (դեպի վերև կամ դեպի ներքև) որոշվում է a թվի նշանով:

— Տեղաշարժի չափը որոշվում է a թվի մոդուլի արժեքով:

Եթե a > 0, ապա գրաֆիկը տեղաշարժվում է դեպի վերև, իսկ եթե a < 0, ապա՝ դեպի ներքև: 

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` չորս միավորով դեպի վերև: Ուրեմն, սա у = x² + 4 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Այս նկարում կատարվում է у = x² ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժ` երեք միավորով դեպի ներքև: Ուրեմն, սա у = x² − 3 ֆունկցիայի գրաֆիկն է:

Ճիշտ է հետևյալ պնդումը:

1)  y = f(x) + a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի վերև:  

2) y = f(x) − a, որտեղ a-ն տրված դրական թիվ է, ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցելու համար պետք է տեղաշարժել  y = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը y-երի առանցքի ուղղությամբ՝ a միավորով դեպի ներքև:

Առաջադրանքներ․

1․ Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին 5 միավորով վերև, այնուհետև՝ 7 միավորով ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

y = f(x) – 2

2․ Դիցուք, f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղաշարժեցին − 2 միավորով ա) վերև, բ) ներքև։ Ո՞ր ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվեց։

ա)y=f(x)+2 (վերև)

բ)y=f(x)−2 (ներքև)

3․ Հայտնի է, որ f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [0, ∞) միջակայքն է: Գտե՛ք g(x) = f(x) + 3 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը:

[3, ∞)

4․ Դիցուք f(x) ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը [−4, −1] միջակայքն է։ Գտե՛ք.
ա) g(x) = f(x) − 2.5,
բ) g(x) = f(x) + 2 ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը

ա) [−6.5, −3.5]
բ) [−2, 1]

5․ Նկարում պատկերված է ֆունկցիայի գրաֆիկը։ Պատկերե՛ք f(x) + 1 և f(x) — 3 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 1

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 3

բ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 1

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 3

գ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 1

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 3

դ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 1

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 3

6․ Նկարում պատկերված է f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը: Պատկերե՛ք f(x) + 2 և f(x) — 4 ֆունկցիաների գրաֆիկները:

ա)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 2

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 4

բ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 2

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 4

գ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 2

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 4

դ)

Վերև տեղափոխվածը՝ f(x) + 2

Ներքև տեղափոխվածը՝ f(x) − 4

Թեմա՝ Ֆունկցիայի մոնոտոնության և նշանապահպանման միջակայքերը, մեծագույն և փոքրագույն արժեքները։

1․ Գտնել ֆունկցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները: Ո՞ր կետերում է ընդունում այդ արժեքը։

Ա) մեծագույն 8 (x≈–2), փոքրագույն –8 (x≈9)
Բ) մեծագույն 6 (x≈–9, 9), փոքրագույն –8 (x=0)
Գ) մեծագույն 2 (x≈0), փոքրագույն –6 (x≈8)
Դ) մեծագույն 5 (x≈8), փոքրագույն –3 (x≈–8)
Ե) մեծագույն 5 (x≈–2), փոքրագույն –6 (x≈2)
Զ) մեծագույն 2 (x≈–6, 6), փոքրագույն –5 (x≈0)
Է) մեծագույն 9 (x≈10), փոքրագույն 0 (x≈–2)
Ը) մեծագույն 6 (x≈4), փոքրագույն –6 (x≈0)

2․ Տրված f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթն է D = [- 5, 5] Հայտնի է, որ f(- 3) = 4 և f(1) = 2 Կարո՞ղ է f(x) ֆունկցիան լինել
ա) աճող
բ) նվազող։

3․ f(x) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը (−∞, +∞) միջակայքն է։ Ֆունկցիայի մասին հայտնի է, որ f(0) = 8, f(5) = 8 և f(- 1) = — 2 Կարո՞ղ է արդյոք f(x) ֆունկցիան լինել
ա) նվազող
բ) չնվազող

4․ Տրված f(x) ֆունկցիայի համար հայտնի է, որ այն աճող է [1, 6] միջակայքում և f(1) = 5 f(6) = 11 : Հնարավո՞ր է արդյոք, որ
ա) f(4) = 10 — հնարավոր է
բ) f(4) = 14 — անհնար է չի կարող անցնել 11-ից ավել
գ) f(4) = 5 — անհնար է չի կարող մնալ նույնը, պետք է աճի

Առաջադրանքներ․

1. Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը․

Ա)

Մեծանում է՝ (−10, −3) և (0, 5)

Նվազում է՝ (−3, 0) և (5, 10)

Բ)

Նվազում է՝ (−10, 0)

Մեծանում է՝ (0, 10)

Գ)

Ֆունկցիան նվազում է ամբողջ միջակայքում՝
x∈(0, 8)

Դ)

Ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ միջակայքում՝

x∈(−8, 0)

Ե)

Մեծանում է՝ (−10, −2) և (2, 10)

Նվազում է՝ (−2, 2)

Զ)

Մեծանում է՝ (−10, −6) և (0, 6)

Նվազում է՝ (−6, 0) և (6, 10)

Է)

Նվազում է՝ (−10, −2)

Մեծանում է՝ (−2, 4)

Ը)

Մեծանում է՝ (−10, −6) և (−2, 4)

Նվազում է՝ (−6, −2) և (4, 10)

2․ Գտնել ֆունկցիայի մոնոտոնության միջակայքերը․

ա)

Նվազում է՝ x∈(−6, 0)

Մեծանում է՝ x∈(0, 2)

Կայուն է՝ x∈(2, 4)

բ)

Նվազում է՝ x∈(−6, −2)

Մեծանում է՝ x∈(−2, 2)

Կայուն է՝ x∈(2, 6)

գ)

Մեծանում է՝ x∈(−6, 4)

Նվազում է՝ x∈(4, 6)

դ)

Նվազում է՝ x∈(−6, −2)

Մեծանում է՝ x∈(−2, 4)

Նվազում է՝ x∈(4, 6)

ե)

Մեծանում է՝ x∈(−6, −3)

Նվազում է՝ x∈(−3, 0)

Մեծանում է՝ x∈(0, 2)

Նվազում է՝ x∈(2, 4)

Մեծանում է՝ x∈(4, 6)

զ)

Մեծանում է՝ x∈(−6, −2)

Նվազում է՝ x∈(−2, 2)

Մեծանում է՝ x∈(2, 6)

է)

Մեծանում է՝ x∈(−6, −2)

Կայուն է՝ x∈(−2, 2)

Մեծանում է՝ x∈(2, 6)

ը)

Նվազում է՝ x∈(−6, 0)

Մեծանում է՝ x∈(0, 2)

Նվազում է՝ x∈(2, 6)

3․ Մոնոտո՞ն է առ․ 2-ում ներկայացված ֆունկցիան: Եթե այո, ապա նշել մոնոտոնության բնույթը․

Հնարավոր է, որ ֆունկցիայի որոշման տիրույթն ամբողջությամբ լինի մոնոտոնության միջակայք: Այդպիսի ֆունկցիաներն անվանում են մոնոտոն: Մոնոտոն ֆունկցիաները լինում են աճող, նվազող, չաճող ու չնվազող:

4․ Մոնոտո՞ն է արդյոք ֆունկցիան: Եթե այո, ապա որոշել մոնոտոնության բնույթը.

մոնոտոն է, և ֆունկցիան մեծացող է

5․ Գտնել 5 թվի և նրա հակադիր թվի գումարը։

5+(−5)=0

6․ Գտնել -8 թվի և նրա հակադիր թվի տարբերությունը։

(−8)−8=−16

7․ Գտնել 3 թվի և նրա հակադիր թվի արտադրյալը։

3×(−3)=−9

8․ Գտնել 12 թվի և նրա հակադիր թվի քանորդը։

12:(−12)=−1

9․ Գտնել -14 թվի և նրա հակադիր թվի քանորդը։

(−14):14=−1

Գիտելիքների ստուգում։

1․ Պարզել արտահայտության նշանը․  

ա) 45⋅ (−17) ⋅ (−2) դրական

բ) (−6) ⋅ (4) ⋅ (−9) ⋅ 5  դրական

գ) (−1) ⋅ 21 բացասական

2. Պարզել արտահայտության նշանը փոփոխականի տվյալ արժեքի դեպքում ․                          

ա) (x − 6)(x − 42), x = 32  

բ) (x +5)(x – 1․5), x = 1

ա) (x−6)(x−42),  x=32 32−6=26>0,  32−42= −10<0, դրական x բացասական = բացասական.

բ) (x+5)(x−1.5),  x=1 1+5=6>0, 1−1.5=−0.5<01+5=6>0,   բացասական.

3․  Գտնել նշանապահպանման միջակայքերը.
ա) (x − 20)(x + 18)    

բ) (x -3)(x +9)                  

ա) (x−20)(x+18)=0⇒x=−18,20
Դրական՝ x <−18 կամ x> 20

բ) (x−3)(x+9)=0⇒x=−9,3
Դրական՝ x <−9 կամ x> 3

4. Որոշել քառակուսային եռանդամի նշանը տրված կետում․   

x² + 7x − 18,  x = 1,    

x=1, 12+7⋅1−18= −10, −

5․  x² + 10x + c քառակուսային եռանդամի տարբերիչը −28 է։․ Գտնել c-ն։                  

D=10²−4⋅1⋅c=−28, 100−4c=−28, c=32