Հաշվել բացասական ցուցիչով աստիճանի արժեքը՝  

ա) 6⁻⁴⁼1/6⁴=1/1296 

 բ) 5^-2 =1/5²=1/25 

գ) 3^-3=1/3³ =1/27 

դ) 12^-1=1/12¹=1/12 

2․ Համեմատիր  կոտորակները: 

ա) (7/31)²⁸  < (14/31)²⁸ 

 բ) (18/31)⁸  <  (18/31)¹⁸  

գ) 37.2⁴  <  37.2¹⁴ 

3․ Գտնել  տրված արտահայտության արժեքը՝  

ա) n⁻⁷⋅ n⁻³=n^-10  

բ) a^-5 ⋅ a⁶=a¹ 

 գ) b^-8 ⋅ b⁹ =b¹ 

դ) m^-6 ⋅ m^-6=m^-12 

4․ Աստիճանի հատկությունների հիման վրա, ձևափոխիր b⁴⁹/h⁻²¹ կոտորակը: 

B^49*h^-21 

5․ Տրված է, որ b²⁴/(k⁻¹²t⁻⁶)=A⁶: Գտիր A-ի արժեքը:  

A⁶⁼b²⁴/k¹²t⁶ 

A=b⁴/k²t 

6․ Համեմատիր A=6900⋅10⁻³ և B=69⋅10⁻² արտահայտությունները: 

A > B 

7․ Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․ 

Ա)a^-1 

Բ)a¹ 

Գ)a³ 

Դ)a 

Ե)a^-10 

Զ)a⁹ 

Է)a³ 

Ը)a^-5 

Թ)a¹ 

Ժ)a9 

Ի)a^-3 

Լ)a8 

8․ Գրեք ամբողջ ցուցիչով աստիճանի տեսքով․ 

Ա)2¹ 

 Բ)3^–1 

Գ)5⁸ 

Դ)10² 

Ե)5^-5 

Զ)8² 

9․ Աստղանիշի փոխարեն գրեք այնպիսի թիվ, որ հավասարությունը ճիշտ լինի. 

Ա)3³ 

Բ)4³ 

Գ)2^-2 

Դ)2 

Ե)5 

Զ)1,2 

Է)4³ 

Ը)3^-2 

Թ)2.5 

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը։

3x+y-5=0

{x-y+1=0

3(y-1)+y-5=0

x=y-1

3y-3+y-5=0

x=y-1

3y-y=3+5

x=y-1

2y=8

x=4-1

y=4

x=3

y=4

Պատ․՝ (3;4):

2․ Որոշել y=3x+6 ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատաները.

y=3x+6

A=(−2,0) և B=(0,6):

Պատ․՝ (-2,0), (0,6):

3․ Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերի կոորդինատները. y=x-6 և y=2x

y=x-6 և y=2x

x−6=2x

−6=2x−x

−6=x

y=2(−6)=−12

Այդպիսով, հատման կետը (−6,−12) է:

A(−6,−12)

B(−6,−12)

Պատ․՝ (-6,-12):

4․ Գտնել հետևյալ ax+4y=16 հավասարման a գործակիցն այնպես, որ դրա գրաֆիկը անցնի (2;3) կետով:

a*2+4*3=16

2a+12=16

2a=16−12

2a=4

a=2

Պատ․՝ 2:

5․ Երկու թվերի գումարը 25 է, իսկ տարբերությունը՝ 11: Գտնել այդ թվերը:

{x+y=25

{x-y=11

Պատ․՝ 17, 7:

Առաջադրանքներ։

1․ ա) Մի թիվը 8-ով մեծ է մյուսից: Այդ թվերի գումարը հավասար է 44-ի: Գտնել այդ թվերը:

{x+y=44

{x-y=8

Պատ․՝ 26, 18:

բ) Մի թիվը 13-ով փոքր է մյուսից: Գտեք այդ թվերը, եթե նրանց գումարը 35 է:

{x+y=35

{x-y=13

Պատ․՝ 24, 11:

2․ ա) Երկու թվերի գումարը 19 է, իսկ տարբերությունը՝ 7: Գտնել այդ թվերը:

{x+y=19

{x-y=7

Պատ․՝ 13, 6:

բ) Երկու թվերի գումարը 23 է, իսկ տարբերությունը՝ 9: Գտնել այդ թվերը:

{x+y=23

{x-y=9

Պատ․՝ 16, 7:

3․ Մի թիվը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Եթե այդ թվերից փոքրը մեծացվի 4 անգամ, իսկ մեծը՝ 2 անգամ, ապա նրանց գումարը հավասար կլինի 44: Գտեք այդ թվերը:

{y=2x

{4x+2y=44

4x+4x=44

8x=44

x=5,5

2 x 5,5=11

y=11

Պատ․՝ 5,5, 11:

4․ 56 սմ պարագծով ուղղանկյան երկու կողմերի տարբերությունը 8 սմ է։ Գտնել ուղղանկյան կողմերը։

{x-y=8

{2x+2y=56

x=8+y

2(8+y)+2y=56

16+2y+2y=56

4y=56-16=40

y=40:4=10

x=4+y=10+4=14

5․ Երեք բադ և չորս սագ միասին կշռում են 2կգ 500գ, իսկ չորս բադ և երեք սագ միասին կշռում են 2կգ 400գ։ Որքա՞ն է կշռում 1 սագը և 1 բադը։

3x+4y=2500

4y+3y=2400

3x+4:(100+x)=2500

3y+4y=2100

x=300 գ.

x=400 գ.

y-x=100

y=100+x

Պատ․՝ 1 բադը 300գ, 1 սագը 400գ։

6․ Դպրոցականները էքսկուրսիա գնացին: Նրանք վերադարձան այլ ճանապարհով, որ 9 կմ-ով կարճ էր առաջինից: Որքա՞ն է յուրաքանչյուր ճանապարհի երկարությունը, եթե դպրոցականներն ընդամենը անցան 47 կմ:

x+y+9=47

x+y=47-9

x=38:2

x=19 կմ

y=x=(38:2)+9

y=28 կմ

Պատ․՝ 1-ը 19 կմ, 2-ը 28 կմ։

7․ Եռանկյան մեծ կողմը 18 սմ է, իսկ մյուս երկու կողմերի տարբերությունը՝ 6 սմ։ Ինչի՞ են հավասար եռանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 42 սմ է։

{18+x+y=42 սմ
{x-y=6 սմ

x+y=42-18=24 սմ

x+y=24 սմ

x=(24-6):2

x=9

y=9+6

y=15

Ստուգում

15-9=6

Պատ․՝ 18 սմ, 15 սմ, 9 սմ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը

Ա)

y=-3x+5

x-y+1

x-(-3x+5)+1=0

x=1

y=-3*1+5

y=2

Պատ՝. (1;2)

Բ)

x=2y-4

2x+3y-6=0

2(2y-4)+3y-6=0

y=2

x=2*2-4

x=0

Պատ՝. (2;0)

2․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

ա)

x-2y=-1

2y=5-3x

x-(5-3x)=-1

x=1

2y=5-3*1

y=1

Պատ՝. (1;1)

բ)

y=2x+1
5x-2x-1+6=0
5x=-1+6=5
x=5:5=1
y=2*1+1=2

Պատ․՝ (1;2)։

գ)

y=3x-2
-5x+2*(3x-2)-3=0
-5x+6x-4-3=0
x=-4-3=-7
y=3*(-7)-2=-27
Պատ․՝ (-7;-27)։

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը տեղադրման եղանակով

1) x-3y+8=0

x=8-3y+8=0

4(-3y)+8=0

-12y+8=0

-12y=-8

y=1.5

2) 4x+5*1.5-2=0

4x+7.5-2=0

4x=-7.5+2

4x=-5.5

x=1.375(կամ -5.5/4)

Պատ․՝ {1.375, 1.5}

1) 5x-y-7=0

y=5x-7

6x-2(5x-7)-6=0

6x-10x-14-6=0

-4x=14-6

-4x=8

x=-2

2) (6*-2)-2y-6=0

-12-2y-6=0

-2y=-12-6

-2y=-6

y=3

Պատ․՝ {-2, 3}

1) 2x+y-3=0

y=2x-3

3x+2(2x-3)-5=0

3x+4x-6-5=0

7x=6+5

7x=11

2) (3*7)+2y-5=0

21+2y-5=0

2y=-21+5

2y=-16

y=-8

Պատ․՝ {7, -8}

1) x-3y-6=0

x=3y+6

7(3y+6)-2y+15=0

21y+42-2y+15=0

19y+57=0

19y=-57

y=-3

2) 7x-2*3+15=0

7x-6+15=0

7x=6-15

7x=9

2. Լուծել հավասարումների համակարգը տեղադրման եղանակով

ա) 1) x+y+1=0

x=(y+1)

y+1+2y-3=0

3y-2=0

3y=-2

y=-1.5

2) x-1.5+1=0

x-0.5=0

x=0.5

Պատ․՝ {0.5, -1.5}։

բ) 1) x+y-1=0

x=y-1

y-1-3y+3=0

-4y=1-3

-4y=-2

y=2

2) x+2-1=0

x=-1

Պատ․՝ {-1,2}։

գ) 1) 3x+y+3=0

y=-3x-3

4x-3x-3-2=0

x-3-2=0

x=3+2

x=5

2) 3*5+y+3=0

15+y+3=0

y=-15-3

y=-18

Պատ․՝ {5,-18}։

դ) 1) x-y-7=0

x=y-7

3(y-7)-y+1=0

3y-21-y+1=0

2y-20=0

2y=20

y=10

2) x-10-7=0

x=10+7

x=17

Պատ․՝ {17,10}։

3.. Լուծել հավասարումների համակարգը տեղադրման եղանակով

ա) 1) x-y+3=0

-y=-x+3

2x+x+3-4=0

3x+3-4=0

3x=1

x=1/3

2) 1/3-y+3=0

-y=-1/3+3

y=2 2/3

Պատ․՝ {1/3, 2 2/3}։

բ) 1) -x+y-3=0

-x=y-3

3(y-3)-y-4=0

3y-9-y-4

2y-5

2y=5

y=2.5

2) -x+2.5-3=0

-x-0.5=0

-x=0.5

x=-0.5

Պատ․՝ {-0.5, 2.5}։

գ) 1) x-y-2=0

x=y+2

4(y+2)-2y-5=0

4y+8-8y-20=0

-4y-12=0

-4y=12

y=3

2) x-3-2=0

x=3+2

x=5

Պատ․՝ {5,3}։

դ) 1) x+y+1=0

x=-y-1

3(-y-1)-2y-2=0

-3y-3-6y-2=0

-9y-5=0

-9y=5

y=-1.8

Առաջադրանքներ

1. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

x-3x=32 => -4x=32 => 8

8-y=32

-y=32-8

y=-24

Պատ․՝ (8,-4)

2. Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) -x-2v+2=4

-2v-x=4-2

-2v-x=2

-x

2) -6-v

-v=-6

v=6

3․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) x-2y=-7

7(2y-7)-10y=7

14y-49-10y=7

14y-10y=49+7

4y=56

y=14

4․ Համակարգը լուծել տեղադրման եղանակով:

1) x-y-1=0

x=-y-1

(-y-1)-5=0

-y=1-5

-y=-6

y=6

2) 6-y-1=0

-y=-6-1

-y=-7

1) x-y-2=0

x=y-2

(y-2)-6=0

y=2-6

y=-4

2) x-4-2=0

x=4+2

x=6

1) x-y-2=0

x=y+2=0

3(y+2)-2y-9=0

3y+6-2y-9=0

y-6-9=0

y=3

2) x-3-2=0

x=3+2

x=5

{5,3}

1․ Ի՞նչն են անվանում երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծումը։

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:

2․ Ի՞նչ է նշանակում լուծել համակարգը։

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

3․ Ընտրել x+y=15 հավասարմանը բավարարող բնական թվերի զույգ:

• (17;−2)
• (0;15)
• (−9;−6)
• (−6;21)
• (3;5)
• (13;2)

4․ Ընտրել այն հավասարումը, որին բավարարում է (2;1) թվազույգը:

• 15x−12y=3
• 6x+8y=1
• 7x+3y=10
• 4x−3y=7
• 6x−2y=4
• 10x−11y=9

5․ Համակարգի հավասարումներում անվանել գործակիցները և ազատ անդամները.

ա) 1. Գործակիցները 2 և 3, ազատ անդամը 1:

2. Գործակիցները 3 և -2, ազատ անդամը -4:

բ) 1. Գործակիցը -1, ազատ անդամը 0:

2. Գործակիցը -2, ազատ անդամը -6:

գ) 1. Գործակիցները -3 և -2, ազատ անդամը 7:

2. Գործակիցը 2, ազատ անդամը 5:

դ) 1. Գործակիցը -4, ազատ անդամը -5:

2. Գործակիցը 2, ազատ անդամը 4:

6․ Հանդիսանում է արդյո՞ք (2;1) թվազույգը հետևյալ համակարգի լուծում:

4+11=15

20-11=9

Այո, հանդիսանում է։

7․ Ցույց տալ, որ (1;2) թվազույգը համակարգի լուծում է.

ա) 1+2-3=0

1-2+1=0

Այո, համակարգի լուծում է

բ)

2,5-2,5=0

1/2-1/2=0

Այո, համակարգի լուծում է

8․ Ցույց տալ, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.

ա)-4-1+5=0

-2+1=3=0

Ոչ, համակարգի լուծում չէ

բ)-4+5-1=0

-6-4=0

Ոչ, համակարգի լուծում չէ

9․ Տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը՝

Հայտնի է, որ (−6;9) թվազույգը նրա լուծումն է: Որոշել a և b գործակիցները:

-6+2 x 9=12

-1 x (-6) +2 x 9=24

a=2

b=-1

1․ Որոշիել ax+2y=16  հավասարման a գործակցի արժեքը, եթե հայտնի է, որ (−2; 4) թվազույգը այդ հավասարման լուծում է:

-2a+8 = 16

-2a = 16 – 8

a = 8/2 = 4

2․ Տված հավասարումներից y-ը արտանայտել x-ով:

ա) 2x+y=6

y = 6 – 2x

բ) 3x+y=7

y = 7 – 3x
գ) x+y-8=12

y = 12 + 8 – x

y = 20 – x
դ) y+2=6x

y = 6x – 2
ե) 3x+2y=9

2y = 9 – 3x

y= 9/2 – 3x/2
զ) -4x+2y=13

2y = 13 + 4x

y = 13/2 + 2x

3․ Տված հավասարումներից x-ը արտանայտել y-ով:

ա) x-y+5=0

x=-5-y
բ) 2x-3y+9=0

2x = -9 +3y

x = -9/2 + 3/2y
գ)15x+y-8=0

15x = -y+8

x = 8/15-y/15
դ) x+3y-15=0

x = -3y+15
ե) 7x+y=6

7x = 6 – y

x = 6/7-y/7
զ) -4x+y=-19

-4x = -19-y

x = 19/4 + y/4

1) Ո՞ր հավասարումն են անվանում երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում: Բերեք օրինակներ:

ax+by+c=0 (1)

Հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ըն որում a և b թվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ը անհայտներ են, անվանում են երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:

3x+2y-1=0

2) Ի՞նչն են անվանում ax+by+c=0 հավասարման լուծում, որտեղ a և b գործակիցներից գոնե մեկը հավասար չէ զրոյի:

ax, by, c  արտահայտություններնանվանպւմ են (1) հավասարման անդամներ: Ընդ որում c թիվն անվանում են ազատ անդամ:

3) Քանի՞ լուծում ունի x-y+1=0 հավասարումը:

Քանի որ x₀ թվերը անվերջ շատ են, ապա և (2) հավասարման լուծումները անվերջ շատ կլինեն:

4) Տրված a, b, c թվերով կազմեք առաջին աստիճանի երկու անհայտով հավասարում.

ա) a=5, b=4, c=-2;

5x+4y-(-2)

բ) a=0, b=-3, c=4;

0x-(-3y)+4=0

գ) a=0, b=2, c=-1;

0x+2y-(-1)

դ) a=-5, b=-1, c=0:

(-5x)+(-1y)+0

5) Ցույց տվեք, որ (1;-1), (5;-7), (-3; 5) թվազույգերը 3x+2y-1=0 հավասարման լուծումներն են:

(1;-1)

3*1+2*(-1)-1=0

3-2-1=0

(5;-7)

3*5+2*(-7)-1=0

15-14-1=0

(-3; 5)

3*(-3)+2*5-1=0

-9+10-1=0

6) Գտեք հավասարման երեք լուծում.

ա) x+y-5=0;

1. x=4
y=1
4+1-5=0

2. x=2
y=3
2+3-5=0

3. x=-2
y=7
-2+7-5=0

բ) y-5=0;

1. y=5

5-5=0

2. y=0

0-5=0

գ) 2x-y+2=0:

1. x=-2
y=-2

2*(-2)-(-2)+2=0

-4-(-2)+2=0

7) (1;3) թվազույգը հավասարման լուծու՞մ է.

ա) 2x-3y+5=0-ոչ
2*1-3*3+5=0
2-9+5

բ) -x+y-2=0-այո

-1+3-2=0
2-2=0

գ) x-y-6=0-ոչ

1-3-6=0

դ) 7x-3,2y+4=0-ոչ

7*1-3,2*2+4=0
7-6,4+4=4,6

8) Տված հավասարումից y-ը արտահայտեք x-ով.

ա) x+y=5

y=5-x

բ) 2x-y=3;

-y=3-2x
y=2x-3

գ) -3x+2y=7:

2y=7+3x
2y=3x+7
y=3/2x+7/2

դ) -3,5x+2y=0,2:

2y=0,2+3,5x

2y=3,5x+0,2

1. Հաշվել ա) 3³ , բ) 8² , գ) 6⁴ , դ) 1²⁰⁰⁰2:
1) 3³=27 2) 8²=16 3) 6⁴=24 4) 1²⁰⁰⁰2=2:

2. Գրել ցուցչային տեսքով՝
ա) 2 ⋅ 2 ⋅ 2,
բ) 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5,
գ) 2³ ⋅ 2 ⋅ 2:

1) 2³, 2) 5⁶, 3) 2⁵:

3. Գրել 10 աստիճանի  տեսքով՝
ա) հարյուր հազար,
բ) մեկ միլիոն,
գ) մեկ միլիարդ:

1) 100.000=10⁵ 2) 1.000.000=10⁶ 3) 1.000.000.000=10⁹:

4. Հաշվել 10³ և 6² թվերի արտադրյալը։
10^{3_{(10x10x10=1000)}}+6^{2_{(6×6=36)=(1000+36)}}=1036

5. Համեմատել ա) 2³⁰ և 2³¹ թվերը, բ) 7¹⁰ և 9¹⁰ թվերը։

1) 2³⁰<2³¹, 2) 7¹⁰<9¹⁰

 6․ 5, 2, −5 թվերից որո՞նք են հետևյալ հավասարման լուծումները.
ա) x — 2 = 0,
բ) 2x -10  = 0,
գ) 3x +15 = 0 

1)2, 2)5, 3)-5:

7. –3, 12, 1, –5 թվերից որո՞նք են նշված հավասարման լուծում.

ա) x + 3 = 0,
բ) 2x – 25 = –1,
գ) 3y + 10 = 1,
դ) 5y + 7 = 2 (y – 1) + 12

1)-3 2)12 3)-3 4)1

8. Ուղղանկյան պարագիծը 48 սմ է։ Գտնել ուղղանկյան կից կողմերի գումարը։

Ուղղանկյան կից կողմերի գումարը պարագծի կեսն է:

Պատասխան՝ 24 սմ.

9․ Դպրոցի երկու դասարանում կա 54 սովորող, ընդ որում ՝ մի դասարանում մյուսից 4 սովորողով ավելի։ Քանի՞ սովորող կա դասարաններից յուրաքանչյուրում։ 

1 դաս․25 2 դաս․29